Vegyünk egy repülőgépet p és az azt metsző egyenes . Hadd A - tetszőleges pont a térben. Rajzoljunk egyenes vonalat ezen a ponton , párhuzamos a vonallal . Hadd . Pont pont vetületének nevezzük A a repülőhöz p párhuzamos kialakítással egy adott egyenes mentén . Repülőgép p , amelyre a tér pontjait vetítjük, vetületi síknak nevezzük.

p - vetítési sík;

- közvetlen tervezés; ;

; ; ;

Ortogonális kialakítás a párhuzamos tervezés speciális esete. Az ortogonális tervezés olyan párhuzamos kialakítás, amelyben a tervezési vonal merőleges a vetítési síkra. Az ortogonális tervezést széles körben használják a műszaki rajzokban, ahol egy figurát három síkra vetítenek - vízszintes és két függőleges.

Meghatározás: Egy pont ortogonális vetülete M a repülőhöz p bázisnak nevezik M 1 merőleges MM 1, leesett a lényegről M a repülőhöz p.

Kijelölés: , , .

Meghatározás: Egy ábra ortogonális vetülete F a repülőhöz p a sík összes olyan pontjának halmaza, amely az ábra ponthalmazának merőleges vetülete F a repülőhöz p.

Az ortogonális kialakítás, mint a párhuzamos tervezés speciális esete, ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik:

p - vetítési sík;

- közvetlen tervezés; ;

1) ;

2) , .

1. A párhuzamos egyenesek vetületei párhuzamosak.

SÍK ÁBRA KIVETÉSI TERÜLETE

Tétel: Egy sík sokszög vetítésének területe egy bizonyos síkra egyenlő a kivetített sokszög területével, megszorozva a sokszög síkja és a vetítési sík közötti szög koszinuszával.

1. szakasz: A vetített ábra egy ABC háromszög, amelynek AC oldala az a vetületi síkban (párhuzamos az a vetületi síkkal) fekszik.

Adott:

Bizonyít:

Bizonyíték:

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. Három merőleges tételével;

ВD – magasság; B 1 D – magasság;

5. – a diéderszög lineáris szöge;

6. ; ; ; ;

2. szakasz: A vetített ábra egy ABC háromszög, amelynek egyik oldala sem esik az a vetítési síkban, és nem párhuzamos vele.

Adott:

Bizonyít:

Bizonyíték:

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(1. szakasz);

5. ; ; ;

(1. szakasz);

Színpad: A megtervezett figura egy tetszőleges sokszög.

Bizonyíték:

A sokszöget az egyik csúcsból húzott átlók véges számú háromszögre osztják, amelyek mindegyikére igaz a tétel. Ezért a tétel igaz lesz minden olyan háromszög területének összegére is, amelyek síkjai azonos szöget zárnak be a vetítési síkkal.

Megjegyzés: A bizonyított tétel bármely zárt görbével határolt sík alakra érvényes.

Feladatok:

1. Határozza meg annak a háromszögnek a területét, amelynek síkja szöget zár be a vetítési síkkal, ha a vetülete szabályos háromszög, amelynek oldala a.

2. Határozza meg annak a háromszögnek a területét, amelynek síkja szöget zár be a vetítési síkkal, ha a vetülete egy egyenlő szárú háromszög, amelynek oldala 10 cm, alapja 12 cm.

3. Határozza meg annak a háromszögnek a területét, amelynek síkja szöget zár be a vetítési síkkal, ha a vetülete egy 9, 10 és 17 cm oldalú háromszög.

4. Számítsa ki annak a trapéznek a területét, amelynek síkja a vetítési síkhoz képest szöget zár be, ha a vetülete egyenlő szárú trapéz, amelynek nagyobb alapja 44 cm, oldala 17 cm, átlója 39 cm.

5. Számítsa ki egy szabályos hatszög vetítési területét, amelynek oldala 8 cm, és amelynek síkja szöget zár be a vetítési síkkal.

6. Egy 12 cm-es oldalú hegyesszögű rombusz egy adott síkkal szöget zár be. Számítsa ki a rombusz vetületének területét erre a síkra.

7. Egy 20 cm-es oldalú, 32 cm-es átlójú rombusz adott síkkal szöget zár be. Számítsa ki a rombusz vetületének területét erre a síkra.

8. A lombkorona vetülete vízszintes síkra egy téglalap, melynek oldalai és . Határozza meg a lombkorona területét, ha az oldallapok egyenlő téglalapok, amelyek a vízszintes síkhoz képest szöget zárnak be, és a lombkorona középső része a vetítési síkkal párhuzamos négyzet.

11. Gyakorlatok a „Vonalok és síkok a térben” témában:

A háromszög oldalai egyenlők 20 cm, 65 cm, 75 cm A háromszög nagyobb szögének csúcsából 60 cm-es merőlegest húzunk a merőleges végeitől a háromszög nagyobbik oldala.

2. A síktól cm távolságra lévő pontból két ferde szöget húzunk, amelyek a síkkal egyenlő szögeket alkotnak, és ezek között derékszöget zárunk. Határozza meg a ferde síkok metszéspontjai közötti távolságot!

3. Egy szabályos háromszög oldala 12 cm. Az M pontot úgy választjuk meg, hogy az M pontot a háromszög összes csúcsával összekötő szakaszok szöget zárjanak be a háromszög síkjával. Határozza meg az M pont távolságát a háromszög csúcsaitól és oldalaitól!

4. A négyzet oldalát a négyzet átlójával szöget bezáró síkot húzzuk át. Keresse meg azokat a szögeket, amelyeknél a négyzet két oldala a síkhoz képest dől!

5. Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög szára szögben hajlik a befogón áthaladó a síkra. Bizonyítsuk be, hogy az a sík és a háromszög síkja közötti szög egyenlő .

6. Az ABC és DBC háromszögek síkjai közötti diéderszög egyenlő. Keresse meg az AD-t, ha AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.

Tesztkérdések a „Vonalok és síkok a térben” témában

1. Sorolja fel a sztereometria alapfogalmait! Fogalmazd meg a sztereometria axiómáit!

2. Bizonyítsa be az axiómák következményeit!

3. Mi a relatív helyzete két egyenesnek a térben? Adja meg a metsző, párhuzamos és ferde egyenesek definícióit!

4. Igazolja a ferde vonalak előjelét!

5. Mi az egyenes és a sík egymáshoz viszonyított helyzete? Adja meg a metsző, párhuzamos egyenesek és síkok definícióit!

6. Igazolja az egyenes és a sík párhuzamosságának jelét!

7. Mi a két sík egymáshoz viszonyított helyzete?

8. Határozzon meg párhuzamos síkokat! Bizonyítsuk be, hogy két sík párhuzamos. Állítson fel tételeket párhuzamos síkokról.

9. Határozza meg az egyenesek közötti szöget.

10. Igazolja egy egyenes és egy sík merőlegességének előjelét!

11. Határozza meg a merőleges alapját, a ferde alapját, a ferde vetületét egy síkra! Fogalmazzuk meg az egy pontból síkra ejtett merőleges és ferde egyenesek tulajdonságait!

12. Határozza meg az egyenes és a sík szögét!

13. Igazoljuk a tételt három merőlegesről!

14. Adja meg a diéder szögének, a diéderszög lineáris szögének definícióit!

15. Igazolja két sík merőlegességének előjelét!

16. Határozza meg két különböző pont távolságát!

17. Határozza meg egy pont és egy egyenes távolságát.

18. Határozza meg egy pont és egy sík távolságát!

19. Határozza meg az egyenes és a vele párhuzamos sík távolságát!

20. Határozza meg a párhuzamos síkok távolságát!

21. Határozza meg a metsző egyenesek távolságát!

22. Határozza meg egy pont ortogonális vetületét egy síkra.

23. Határozza meg egy ábra síkra merőleges vetületét!

24. Fogalmazza meg a síkra vonatkozó vetületek tulajdonságait!

25. Fogalmazzon meg és bizonyítson be egy tételt egy sík sokszög vetületi területén.

A geometriai feladatokban a siker nem csak az elmélet ismeretén múlik, hanem egy jó minőségű rajzon is.
Lapos rajzokkal többé-kevésbé minden világos. De a sztereometriában a helyzet bonyolultabb. Hiszen ábrázolni kell háromdimenziós test rajta lakás rajzot, és hogy te magad és az is, aki a rajzodat nézi, ugyanazt a térfogati testet látná.

Hogyan kell csinálni?
Természetesen a térfogati test bármely síkon lévő képe feltételes lesz. Van azonban egy bizonyos szabályrendszer. Van egy általánosan elfogadott módja a rajzok készítésének - párhuzamos vetítés.

Vegyünk egy térfogati testet.
Válasszunk vetítési sík.
A térfogattest minden pontján keresztül párhuzamos egyeneseket húzunk, amelyek tetszőleges szögben metszik a vetítési síkot. Ezen egyenesek mindegyike egy ponton metszi a vetítési síkot. És ezek a pontok együtt alkotnak kivetítés térfogati test egy síkra, vagyis annak lapos képe.

Hogyan készítsünk térfogati testek vetületeit?
Képzelje el, hogy van egy térfogati test kerete - prizma, piramis vagy henger. Párhuzamos fénysugárral megvilágítva képet kapunk - árnyékot a falon vagy a képernyőn. Vegye figyelembe, hogy különböző szögekből különböző képeket kapunk, de néhány minta továbbra is jelen van:

Egy szegmens vetülete szegmens lesz.

Természetesen, ha a szakasz merőleges a vetítési síkra, akkor egy ponton jelenik meg.

Általános esetben a kör vetülete ellipszis lesz.

A téglalap vetülete paralelogramma.

Így néz ki egy kocka síkra vetítése:

Itt az elülső és a hátsó felület párhuzamos a vetítési síkkal

Megteheti másként is:

Bármilyen szöget is választunk, a rajzon a párhuzamos szakaszok vetületei is párhuzamos szakaszok lesznek. Ez a párhuzamos vetítés egyik elve.

Megrajzoljuk a piramis vetületeit,

henger:

Ismételjük meg még egyszer a párhuzamos vetítés alapelvét. Kijelölünk egy vetületi síkot, és párhuzamos vonalakat húzunk a térfogattest minden pontján keresztül. Ezek a vonalak tetszőleges szögben metszik a vetítési síkot. Ha ez a szög 90°, akkor arról beszélünk téglalap alakú vetítés. Téglalap vetítéssel a technológiai térfogati részek rajzai készülnek. Ebben az esetben felülnézetről, elölnézetről és oldalnézetről beszélünk.

fejezet IV. Egyenes vonalak és síkok a térben. Poliéder

55. § Sokszög vetületi területe.

Emlékezzünk vissza, hogy az egyenes és a sík szöge egy adott egyenes és a síkra való vetülete közötti szög (164. ábra).

Tétel. A sokszög síkra merőleges vetületének területe egyenlő a kivetített sokszög területével, megszorozva a sokszög síkja és a vetítési sík által alkotott szög koszinuszával.

Minden sokszög háromszögekre osztható, amelyek területeinek összege megegyezik a sokszög területével. Ezért elég egy háromszög tételét bebizonyítani.

Hadd /\ Az ABC egy síkra van vetítve R. Nézzünk két esetet:
a) az egyik fél /\ Az ABC párhuzamos a síkkal R;
b) egyik fél sem /\ Az ABC nem párhuzamos R.

Mérlegeljük első eset: legyen [AB] || R.

Rajzoljunk egy síkot (AB) keresztül! R 1 || Rés ortogonálisan tervezzük meg /\ Az ABC bekapcsolva R 1 és tovább R(165. ábra); kapunk /\ ABC 1 és /\ ABC".
A rendelkezésünkre álló vetületi tulajdonság alapján /\ ABC 1 /\ A"B"C", és ezért

S /\ ABC1=S /\ ABC"

Rajzoljuk _|_ és a D 1 C 1 szakaszt. Ekkor _|_ , a = φ a sík közötti szög értéke /\ ABC és repülőgép R 1 . Ezért

S /\ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S /\ ABC cos φ

és ezért S /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ.

Térjünk át a mérlegelésre második eset. Rajzoljunk egy síkot R 1 || R azon a tetején /\ ABC, a sík távolsága R a legkisebb (legyen ez az A csúcs).
Tervezzünk /\ ABC egy repülőn R 1 és R(166. ábra); vetületei legyenek ill /\ AB 1 C 1 és /\ ABC".

Engedd (nap) p 1 = D. Akkor

S /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (S /\ ADC-S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ

Feladat. Egy szabályos háromszög hasáb alapoldalán egy síkot húzunk át φ = 30°-os szögben az alapsíkjával. Határozza meg a kapott keresztmetszet területét, ha a prizma alapjának oldala A= 6 cm.

Ábrázoljuk ennek a prizmának a keresztmetszetét (167. ábra). Mivel a prizma szabályos, oldalélei merőlegesek az alap síkjára. Eszközök, /\ Az ABC egy vetítés /\ Az ADC tehát

GEOMETRIA
Óratervek a 10. osztály számára

56. lecke

Tantárgy. Egy sokszög ortogonális vetületének területe

Az óra célja: a sokszög merőleges vetületének területére vonatkozó tétel tanulmányozása, a tanulók képességeinek fejlesztése a tanult tétel problémamegoldásban való alkalmazásában.

Felszereltség: sztereometrikus készlet, kocka modell.

Az órák alatt

I. Házi feladat ellenőrzése

1. Két tanuló reprodukálja a táblán a 42. és 45. számú feladatok megoldásait.

2. Frontális kikérdezés.

1) Határozza meg két egymást metsző sík szögét!

2) Mekkora a szög az alábbiak között:

a) párhuzamos síkok;

b) merőleges síkok?

3) Milyen határok között változhat két sík szöge?

4) Igaz-e, hogy a párhuzamos síkokat metsző sík azonos szögben metszi azokat?

5) Igaz-e, hogy az a sík, amely merőleges síkokat metsz, egyenlő szögben metszi azokat?

3. A tanulók által a táblán újraalkotott 42., 45. számú feladatok megoldásának helyességének ellenőrzése.

II. Az új anyag észlelése és tudatosítása

Feladat diákoknak

1. Bizonyítsuk be, hogy annak a háromszögnek a vetületi területe, amelynek egyik oldala a vetítési síkban van, egyenlő a területének és a sokszög síkja és a vetítési sík közötti szög koszinuszának szorzatával.

2. Igazolja a tételt arra az esetre, amikor egy rácsháromszög olyan, amelynek egyik oldala párhuzamos a vetítési síkkal.

3. Igazolja a tételt arra az esetre, amikor egy rácsháromszögnek egyik oldala sem párhuzamos a vetítési síkkal.

4. Bizonyítsa be a tételt bármely sokszögre!

Problémamegoldás

1. Határozza meg egy olyan sokszög merőleges vetületének területét, amelynek területe 50 cm2, és a sokszög síkja és a vetülete közötti szög 60°.

2. Határozza meg a sokszög területét, ha ennek a sokszögnek az ortogonális vetületének területe 50 cm2, és a sokszög síkja és a vetülete közötti szög 45°.

3. A sokszög területe 64 cm2, az ortogonális vetületé 32 cm2. Határozza meg a sokszög síkjai és vetülete közötti szöget!

4. Vagy talán egy sokszög merőleges vetületének területe egyenlő ennek a sokszögnek a területével?

5. Egy kocka éle egyenlő a-val. Határozza meg a kocka keresztmetszeti területét egy olyan síkban, amely az alap tetején halad át, és ezzel az alappal 30°-os szöget zár be, és metszi az összes oldalélt. (Válasz.)

6. 48. számú feladat (1, 3) a tankönyvből (58. o.).

7. 49. (2) számú feladat a tankönyvből (58. o.).

8. A téglalap oldalai 20 és 25 cm-esek A síkra való vetülete hasonló hozzá. Keresse meg a vetület kerületét. (Válasz: 72 cm vagy 90 cm.)

III. Házi feladat

4. § (34) bekezdés; 17. számú tesztkérdés; problémák 48. (2), 49. (1) (58. o.).

IV. Összegezve a tanulságot

Kérdés az osztályhoz

1) Fogalmazzon meg egy tételt egy sokszög merőleges vetületének területéről!

2) Lehet-e nagyobb egy sokszög merőleges vetületének területe, mint a sokszög területe?

3) Az ABC derékszögű háromszög AB befogóján keresztül α síkot 45°-os szöget zár be a háromszög síkjával és merőleges CO az α síkra. AC = 3 cm, BC = 4 cm Jelölje meg, hogy az alábbi állítások közül melyik helyes és melyik helytelen!

a) az ABC és α síkok közötti szög egyenlő az SMO szöggel, ahol a H pont az ABC háromszög CM magasságának alapja;

b) CO = 2,4 cm;

c) az AOC háromszög az ABC háromszög α síkra merőleges vetülete;

d) az AOB háromszög területe 3 cm2.

(Válasz: a) Helyes; b) rossz; c) hibás; d) helyes.)

A sokszög ortogonális vetületi tétel részletes bizonyítása

Ha egy lakás vetülete n -gon egy síkra, akkor hol van a sokszögek síkjai közötti szög és. Más szóval, egy sík sokszög vetítési területe egyenlő a vetített sokszög területének és a vetítési sík és a vetített sokszög síkja közötti szög koszinuszának szorzatával.

Bizonyíték. én színpad. Végezzük el először a bizonyítást egy háromszögre. Tekintsünk 5 esetet.

1 eset. fekszenek a vetítési síkban .

Legyen a pontok vetületei a síkra, ill. A mi esetünkben. Tegyük fel, hogy. Legyen a magasság, akkor három merőleges tételével megállapíthatjuk, hogy - a magasság (- a ferde vetülete, - alapja és az egyenes átmegy a ferde alapján, és).

Mérlegeljük. Ez téglalap alakú. A koszinusz definíciója szerint:

Másrészt, mivel és akkor definíció szerint a síkok félsíkjai által és a határegyenessel alkotott diéderszög lineáris szöge, és ezért mértéke egyben a kétszög közötti szög mértéke is. a háromszög vetületének síkjai és maga a háromszög, azaz.

Határozzuk meg a terület arányát:

Vegye figyelembe, hogy a képlet akkor is igaz marad, ha. Ebben az esetben

2. eset. Csak a vetítési síkban fekszik és párhuzamos a vetítési síkkal .

Legyen a pontok vetületei a síkra, ill. A mi esetünkben.

Rajzoljunk egy egyenest a ponton keresztül. Esetünkben az egyenes metszi a vetítési síkot, ami azt jelenti, hogy a lemma szerint az egyenes a vetítési síkot is metszi. Legyen ez a Mivel pontban, akkor a pontok ugyanabban a síkban fekszenek, és mivel párhuzamos a vetítési síkkal, akkor az egyenes és a sík párhuzamosságának előjele következtében ez következik. Ezért ez egy paralelogramma. Tekintsük és. Három oldaluk egyenlő (a közös oldal olyan, mint egy paralelogramma szemközti oldala). Jegyezzük meg, hogy a négyszög téglalap, és egyenlő (a láb és az alsó rész mentén), ezért három oldalról egyenlő. Ezért.

Az 1. esetre: , azaz

3. eset. Csak a vetítési síkban fekszik, és nem párhuzamos a vetítési síkkal .

Legyen a pont az egyenes és a vetítési sík metszéspontja. Vegye figyelembe, hogy és. 1 esetben: i. Így azt kapjuk

4. eset A csúcsok nem a vetítési síkban fekszenek . Nézzük a merőlegeseket. Vegyük ezek közül a merőlegesek közül a legkisebbet. Legyen merőleges. Kiderülhet, hogy vagy csak, vagy csak. Akkor úgyis visszük.

Tegyünk félre egy pontot egy szakaszon egy pontból úgy, hogy egy szakaszon lévő pontból pedig egy pontot úgy, hogy. Ez a konstrukció azért lehetséges, mert a merőlegesek közül ez a legkisebb. Ne feledje, hogy ez a és a konstrukció szerinti vetület. Bizonyítsuk be, hogy és egyenlőek.

Tekintsünk egy négyszöget. Feltétel szerint - egy síkra merőlegesek, tehát a tétel szerint tehát. Mivel szerkesztéssel, tehát a paralelogramma jellemzői alapján (párhuzamos és egyenlő ellentétes oldalakkal) megállapíthatjuk, hogy paralelogramma. Azt jelenti,. Hasonlóképpen bebizonyosodik, hogy,. Ezért, és egyenlők három oldalon. Ezért. Vegyük észre, hogy és mint a paralelogrammák ellentétes oldalai, ezért a síkok párhuzamossága alapján . Mivel ezek a síkok párhuzamosak, azonos szöget zárnak be a vetítési síkkal.

Az előző esetek érvényesek:.

5. eset. A vetítési sík metszi az oldalakat . Nézzük az egyenes vonalakat. Ezek merőlegesek a vetítési síkra, tehát a tétel szerint párhuzamosak. Azon az egyirányú sugarakon, amelyeknek origója pontban van, egyenlő szakaszokat fogunk ábrázolni úgy, hogy a csúcsok a vetítési síkon kívül legyenek. Ne feledje, hogy ez a és a konstrukció szerinti vetület. Mutassuk meg, hogy egyenlő.

Azóta és építkezés szerint akkor. Ezért a paralelogramma kritériuma szerint (két egyenlő és párhuzamos oldalon) paralelogramma. Hasonló módon bizonyítjuk, hogy és paralelogrammák. De ekkor és (mint ellentétes oldalak) ezért három oldalon egyenlők. Azt jelenti,.

Ráadásul, és ezért a síkok párhuzamossága alapján. Mivel ezek a síkok párhuzamosak, azonos szöget zárnak be a vetítési síkkal.

A 4. esetre:.

II színpad. Osszuk fel egy lapos sokszöget háromszögekre a csúcsból húzott átlók segítségével: Ekkor az előző háromszög esetek szerint: .

Q.E.D.