یک هواپیما را در نظر بگیرید پ و خط مستقیمی که آن را قطع می کند . اجازه دهید آ - یک نقطه دلخواه در فضا بیایید یک خط مستقیم از این نقطه رسم کنیم ، موازی با خط . اجازه دهید . نقطه طرح ریزی یک نقطه نامیده می شود آبه هواپیما پبا طراحی موازی در امتداد یک خط مستقیم مشخص . سطح پ ، که نقاط فضا بر روی آن پرتاب می شود، صفحه برآمدگی نامیده می شود.

p - صفحه طرح ریزی؛

- طراحی مستقیم؛ ;

; ; ;

طراحی متعامدیک مورد خاص از طراحی موازی است. طراحی متعامد طرحی موازی است که در آن خط طراحی عمود بر صفحه طرح ریزی است. طراحی متعامد به طور گسترده ای در طراحی فنی استفاده می شود، جایی که یک شکل بر روی سه صفحه - افقی و دو صفحه عمودی پیش بینی می شود.

تعریف: طرح ریزی متعامد یک نقطه مبه هواپیما پبه نام پایگاه M 1عمود بر MM 1، از نقطه پایین افتاد مبه هواپیما پ.

تعیین: , , .

تعریف: برآمدگی متعامد یک شکل افبه هواپیما پمجموعه تمام نقاط صفحه است که برآمدگی متعامد مجموعه نقاط شکل هستند افبه هواپیما پ.

طراحی متعامد، به عنوان یک مورد خاص از طراحی موازی، دارای ویژگی های یکسانی است:

p - صفحه طرح ریزی؛

- طراحی مستقیم؛ ;

1) ;

2) , .

1. پیش بینی خطوط موازی موازی هستند.

منطقه طرح ریزی یک فیگور مسطح

قضیه: مساحت برآمدگی یک چندضلعی صفحه بر روی صفحه معین برابر است با مساحت چندضلعی پیش بینی شده ضرب در کسینوس زاویه بین صفحه چندضلعی و صفحه برآمده.

مرحله 1: شکل پیش بینی شده یک مثلث ABC است که ضلع آن AC در صفحه برآمده a قرار دارد (موازی با صفحه برآمدگی a).

داده شده:

ثابت كردن:

اثبات:

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. با قضیه سه عمود;

ВD – ارتفاع؛ B 1 D - ارتفاع؛

5. - زاویه خطی زاویه دو وجهی.

6. ; ; ; ;

مرحله 2: شکل پیش بینی شده یک مثلث ABC است که هیچ یک از اضلاع آن در صفحه برآمدگی a قرار ندارد و موازی با آن نیست.

داده شده:

ثابت كردن:

اثبات:

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(مرحله ی 1)؛

5. ; ; ;

(مرحله ی 1)؛

مرحله: شکل طراحی شده یک چندضلعی دلخواه است.

اثبات:

چند ضلعی توسط قطرهایی که از یک راس کشیده شده اند به تعداد محدودی مثلث تقسیم می شود که برای هر یک از آنها قضیه صادق است. بنابراین، این قضیه برای مجموع مساحت تمام مثلث هایی که صفحات آنها با صفحه برآمده زاویه یکسانی تشکیل می دهند نیز صادق خواهد بود.

اظهار نظر: قضیه ثابت شده برای هر شکل صفحه ای که توسط یک منحنی بسته محدود شده است معتبر است.

تمرینات:

1. مساحت مثلثی را پیدا کنید که صفحه آن متمایل به صفحه برآمده با زاویه باشد، اگر برآمدگی آن مثلثی منتظم با ضلع a باشد.

2. مساحت مثلثی را که صفحه آن متمایل به صفحه برآمده با زاویه است، بیابید، اگر برآمدگی آن مثلث متساوی الساقین با ضلع 10 سانتی متر و قاعده 12 سانتی متر باشد.

3. مساحت مثلثی را که صفحه آن به صفحه برآمده متمایل است، در صورتی که برآمدگی آن مثلثی با اضلاع 9، 10 و 17 سانتی متر باشد، بیابید.

4. مساحت ذوزنقه ای را که صفحه آن متمایل به صفحه برآمده با زاویه است، در صورتی که برآمدگی آن یک ذوزنقه متساوی الساقین است که قاعده بزرگتر آن 44 سانتی متر، ضلع آن 17 سانتی متر و مورب باشد، محاسبه کنید. 39 سانتی متر است.

5. مساحت برآمدگی یک شش ضلعی منتظم با ضلع 8 سانتی متر را محاسبه کنید که صفحه آن به صورت زاویه دار به صفحه برآمده متمایل است.

6. لوزی با ضلع 12 سانتی متر و زاویه تند با صفحه معین زاویه تشکیل می دهد. مساحت برآمدگی لوزی بر روی این صفحه را محاسبه کنید.

7. لوزی با ضلع 20 سانتی متر و قطر 32 سانتی متر با صفحه معین زاویه تشکیل می دهد. مساحت برآمدگی لوزی بر روی این صفحه را محاسبه کنید.

8. برآمدگی یک سایبان بر روی صفحه افقی مستطیلی است با اضلاع و . اگر وجه های جانبی مستطیل های مساوی و متمایل به صفحه افقی و در قسمت میانی سایبان مربعی موازی با صفحه پیش بینی شده باشد، مساحت سایبان را پیدا کنید.

11. تمرینات با موضوع "خطوط و صفحات در فضا":

اضلاع مثلث برابر با 20 سانتيمتر 65 سانتيمتر 75 سانتيمتر است از راس زاويه بزرگتر مثلث عمود بر صفحه آن 60 سانتيمتر رسم ميشود فاصله انتهاي عمود را تا ضلع بزرگتر مثلث

2. از نقطه ای که در فاصله سانتی متری از صفحه قرار دارد، دو نقطه مایل رسم می شود که با صفحه مساوی زوایایی و بین آنها زاویه قائمه ایجاد می کند. فاصله بین نقاط تقاطع صفحات مایل را پیدا کنید.

3. ضلع مثلث منتظم 12 سانتی متر است نقطه M طوری انتخاب می شود که پاره های متصل کننده نقطه M با تمام رئوس مثلث با صفحه آن زاویه تشکیل دهند. فاصله نقطه M تا رئوس و اضلاع مثلث را پیدا کنید.

4. صفحه ای از ضلع مربع با زاویه ای نسبت به قطر مربع کشیده می شود. زوایایی را که دو ضلع مربع به صفحه متمایل هستند را پیدا کنید.

5. ساق مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین به صفحه ای متمایل است که با زاویه ای از هیپوتنوس می گذرد. ثابت کنید که زاویه بین صفحه a و صفحه مثلث برابر است با .

6. زاویه دو وجهی بین صفحات مثلث ABC و DBC برابر است با . اگر AB = AC = 5 سانتی متر، BC = 6 سانتی متر، BD = DC = سانتی متر، AD را پیدا کنید.

سوالات تستی با موضوع "خطوط و هواپیما در فضا"

1. مفاهیم اساسی استریومتری را فهرست کنید. بدیهیات استریومتری را فرموله کنید.

2. نتایج بدیهیات را اثبات کنید.

3. موقعیت نسبی دو خط در فضا چگونه است؟ تعاریفی از خطوط متقاطع، موازی و اریب ارائه دهید.

4. علامت خطوط کج را ثابت کنید.

5. موقعیت نسبی خط و صفحه چگونه است؟ تعاریفی از خطوط متقاطع، موازی و صفحات ارائه دهید.

6. علامت توازی خط و صفحه را ثابت کنید.

7. موقعیت نسبی دو صفحه چگونه است؟

8. صفحات موازی را تعریف کنید. یک علامت موازی بودن دو صفحه را ثابت کنید. قضایای مربوط به صفحات موازی را بیان کنید.

9. زاویه بین خطوط مستقیم را تعریف کنید.

10. علامت عمود بودن یک خط و یک صفحه را ثابت کنید.

11. قاعده عمود، قاعده مایل، برآمدگی یک مایل بر روی صفحه را تعریف کنید. خصوصیات خطوط عمود و مایل که از یک نقطه بر روی صفحه افتاده اند را فرموله کنید.

12. زاویه بین یک خط مستقیم و یک صفحه را تعریف کنید.

13. قضیه سه عمود را ثابت کنید.

14. تعاریفی از زاویه دو وجهی، زاویه خطی زاویه دو وجهی ارائه دهید.

15. علامت عمود بودن دو صفحه را ثابت کنید.

16. فاصله بین دو نقطه مختلف را تعریف کنید.

17. فاصله یک نقطه تا یک خط را تعریف کنید.

18. فاصله نقطه تا صفحه را تعریف کنید.

19. فاصله بین یک خط مستقیم و یک صفحه موازی با آن را تعریف کنید.

20. فاصله بین صفحات موازی را تعریف کنید.

21. فاصله بین خطوط متقاطع را تعریف کنید.

22. برآمدگی متعامد یک نقطه را بر روی صفحه تعریف کنید.

23. برآمدگی متعامد یک شکل را بر روی صفحه تعریف کنید.

24. خواص برآمدگی ها را روی یک صفحه فرموله کنید.

25. یک قضیه در مورد مساحت طرح چندضلعی مسطح را فرموله و اثبات کنید.

در مسائل هندسه، موفقیت نه تنها به دانش تئوری، بلکه به یک نقاشی با کیفیت بالا بستگی دارد.
با نقشه های مسطح همه چیز کم و بیش واضح است. اما در استریومتری وضعیت پیچیده تر است. پس از همه، به تصویر کشیدن لازم است سه بعدیبدن بر روی تختطراحی، و به این ترتیب که هم شما و هم شخصی که به نقاشی شما نگاه می کند، بدنه حجمی یکسانی را ببینید.

چگونه انجامش بدهیم؟
البته هر تصویری از جسم حجمی در هواپیما مشروط خواهد بود. با این حال، مجموعه ای از قوانین وجود دارد. یک روش کلی پذیرفته شده برای ساختن نقشه ها وجود دارد - طرح ریزی موازی.

بیایید یک بدنه حجمی بگیریم.
بیایید انتخاب کنیم صفحه طرح ریزی.
از طریق هر نقطه از بدنه حجمی خطوط مستقیمی را به موازات یکدیگر ترسیم می کنیم و صفحه طرح ریزی را در هر زاویه ای قطع می کنیم. هر یک از این خطوط در نقطه ای صفحه طرح را قطع می کنند. و همه با هم این نقاط تشکیل می شود طرح ریزییک جسم حجمی روی یک صفحه، یعنی تصویر صاف آن.

چگونه می توان پیش بینی اجسام حجمی را ساخت؟
تصور کنید که یک قاب از یک جسم حجمی دارید - یک منشور، هرم یا استوانه. با روشن کردن آن با یک پرتو موازی نور، یک تصویر - سایه ای روی دیوار یا روی صفحه نمایش به دست می آوریم. توجه داشته باشید که از زوایای مختلف تصاویر مختلفی به دست می آید، اما برخی از الگوها هنوز وجود دارند:

طرح ریزی یک بخش، یک بخش خواهد بود.

البته اگر قطعه عمود بر صفحه طرح ریزی باشد، در یک نقطه نمایش داده می شود.

در حالت کلی، طرح یک دایره بیضی خواهد بود.

برآمدگی یک مستطیل متوازی الاضلاع است.

این شکلی است که یک مکعب بر روی یک هواپیما به نظر می رسد:

در اینجا صورت جلو و عقب موازی با صفحه طرح ریزی است

شما می توانید آن را متفاوت انجام دهید:

هر زاویه ای که انتخاب کنیم، پیش بینی های بخش های موازی در نقاشی نیز بخش های موازی خواهند بود. این یکی از اصول طرح ریزی موازی است.

ما پیش بینی های هرم را ترسیم می کنیم،

سیلندر:

اجازه دهید یک بار دیگر اصل اساسی طرح ریزی موازی را تکرار کنیم. ما یک صفحه طرح را انتخاب می کنیم و خطوط موازی را در هر نقطه از بدنه حجمی ترسیم می کنیم. این خطوط در هر زاویه ای صفحه طرح را قطع می کنند. اگر این زاویه 90 درجه باشد، ما در مورد آن صحبت می کنیم طرح مستطیل شکل. با استفاده از طرح ریزی مستطیلی، نقشه های قطعات حجمی در فناوری ساخته می شود. در این مورد ما در مورد نمای بالا، نمای جلو و نمای جانبی صحبت می کنیم.

فصل چهارم. خطوط مستقیم و صفحات در فضا. چند وجهی

§ 55. منطقه طرح ریزی یک چند ضلعی.

بیایید به یاد بیاوریم که زاویه بین یک خط و یک صفحه، زاویه بین یک خط معین و طرح ریزی آن بر روی صفحه است (شکل 164).

قضیه. مساحت برآمدگی متعامد یک چند ضلعی بر روی یک صفحه برابر است با مساحت چند ضلعی پیش بینی شده ضرب در کسینوس زاویه تشکیل شده توسط صفحه چند ضلعی و صفحه طرح.

هر چند ضلعی را می توان به مثلث هایی تقسیم کرد که مجموع مساحت آنها برابر با مساحت چند ضلعی است. بنابراین کافی است قضیه مثلث را اثبات کنیم.

اجازه دهید /\ ABC بر روی یک هواپیما پیش بینی می شود آر. بیایید دو مورد را در نظر بگیریم:
الف) یکی از طرفین /\ ABC موازی با صفحه است آر;
ب) هیچ یک از طرفین /\ ABC موازی نیست آر.

در نظر بگیریم مورد اول: اجازه دهید [AB] || آر.

اجازه دهید یک هواپیما از طریق (AB) بکشیم آر 1 || آرو به صورت متعامد طراحی کنید /\ ABC روشن است آر 1 و به بعد آر(شکل 165); ما گرفتیم /\ ABC 1 و /\ A"B"C".
با خاصیت طرح ریزی که داریم /\ ABC 1 /\ A"B"C، و بنابراین

اس /\ ABC1=S /\ A"B"C"

بیایید _|_ و قطعه D 1 C 1 را رسم کنیم. سپس _|_، a = φ مقدار زاویه بین صفحه است /\ ABC و هواپیما آر 1 . از همین رو

اس /\ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | سی دی 1 | cos φ = S /\ ABC cos φ

و بنابراین S /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ.

بیایید به بررسی ادامه دهیم مورد دوم. بیایید یک هواپیما بکشیم آر 1 || آربالای آن بالا /\ ABC، فاصله ای که از آن تا هواپیما آرکوچکترین (بگذارید راس A باشد).
بیایید طراحی کنیم /\ ABC در هواپیما آر 1 و آر(شکل 166); اجازه دهید پیش بینی های آن به ترتیب باشد /\ AB 1 C 1 و /\ A"B"C".

بگذار (خورشید) پ 1 = D. سپس

اس /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (S /\ ADC-S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ

وظیفه.یک صفحه از ضلع پایه یک منشور مثلثی منظم با زاویه 30 درجه نسبت به صفحه قاعده آن کشیده می شود. اگر طرف پایه منشور باشد، سطح مقطع حاصل را پیدا کنید آ= 6 سانتی متر

اجازه دهید مقطع این منشور را به تصویر بکشیم (شکل 167). از آنجایی که منشور منظم است، لبه های جانبی آن بر صفحه قاعده عمود هستند. به معنای، /\ ABC یک طرح ریزی است /\ بنابراین ADC

هندسه
طرح درس برای پایه دهم

درس 56

موضوع. مساحت برآمدگی متعامد یک چند ضلعی

هدف از درس: مطالعه قضیه در سطح طرح متعامد یک چند ضلعی، توسعه مهارت های دانش آموزان در استفاده از قضیه آموخته شده برای حل مسائل.

تجهیزات: مجموعه استریومتریک، مدل مکعبی.

در طول کلاس ها

I. بررسی تکالیف

1. دو دانش آموز راه حل مسائل شماره 42، 45 را روی تخته تکثیر می کنند.

2. پرسش از جلو.

1) زاویه بین دو صفحه را که متقاطع می شوند تعریف کنید.

2) زاویه بین:

الف) صفحات موازی؛

ب) صفحات عمود بر هم؟

3) زاویه بین دو صفحه در چه حدودی می تواند تغییر کند؟

4) آیا این درست است که صفحه ای که صفحات موازی را قطع می کند آنها را در زوایای یکسان قطع می کند؟

5) آیا این درست است که صفحه ای که صفحات عمود را قطع می کند آنها را در زوایای مساوی قطع می کند؟

3. بررسی صحت حل مسائل شماره 42، 45 که دانش آموزان مجدداً روی تابلو ایجاد کردند.

II. ادراک و آگاهی از مطالب جدید

تکلیف برای دانش آموزان

1. ثابت کنید که مساحت برآمدگی مثلثی که یک ضلع آن در صفحه برآمده است برابر است با حاصلضرب مساحت آن و کسینوس زاویه بین صفحه چندضلعی و صفحه برآمده.

2. قضیه را برای حالتی ثابت کنید که مثلث شبکه مثلثی است که یک ضلع آن موازی با صفحه طرح ریزی باشد.

3. قضیه را برای حالتی ثابت کنید که مثلث شبکه ای است که هیچ یک از اضلاع آن موازی با صفحه طرح ریزی نباشد.

4. قضیه هر چندضلعی را ثابت کنید.

حل مسئله

1. مساحت برآمدگی متعامد چند ضلعی را که مساحت آن 50 سانتی متر مربع و زاویه بین صفحه چند ضلعی و برآمدگی آن 60 درجه است را بیابید.

2. اگر مساحت برآمدگی متعامد این چند ضلعی 50 سانتی متر مربع و زاویه بین صفحه چندضلعی و برآمدگی آن 45 درجه باشد، مساحت چند ضلعی را بیابید.

3. مساحت چند ضلعی 64 سانتی متر مربع و مساحت برآمدگی متعامد 32 سانتی متر مربع است. زاویه بین صفحات چند ضلعی و برآمدگی آن را بیابید.

4. یا ممکن است مساحت برآمدگی متعامد یک چند ضلعی برابر با مساحت این چندضلعی باشد؟

5. لبه مکعب برابر با a است. سطح مقطع مکعب را با صفحه ای که از بالای پایه با زاویه 30 درجه نسبت به این پایه عبور می کند و تمام لبه های جانبی را قطع می کند، پیدا کنید. (پاسخ. )

6. مسئله شماره 48 (1، 3) از کتاب درسی (ص 58).

7. مسئله شماره 49 (2) از کتاب درسی (ص 58).

8. اضلاع مستطیل 20 و 25 سانتی متر است که برآمدگی آن بر روی صفحه شبیه به آن است. محیط پروجکشن را پیدا کنید. (پاسخ: 72 سانتی متر یا 90 سانتی متر.)

III. مشق شب

§4، بند 34; سوال تستی شماره 17; مسائل شماره 48 (2)، 49 (1) (ص 58).

IV. جمع بندی درس

سوال برای کلاس

1) یک قضیه در مورد مساحت برآمدگی متعامد یک چند ضلعی بیان کنید.

2) آیا مساحت برآمدگی متعامد یک چند ضلعی بیشتر از مساحت چندضلعی است؟

3) از طریق هیپوتنوز AB مثلث قائم الزاویه ABC، صفحه α با زاویه 45 درجه نسبت به صفحه مثلث و CO عمود بر صفحه α رسم می شود. AC = 3 cm، BC = 4 cm. مشخص کنید کدام یک از جملات زیر صحیح و کدام نادرست است:

الف) زاویه بین صفحات ABC و α برابر با زاویه SMO است، جایی که نقطه H پایه ارتفاع CM مثلث ABC است.

ب) CO = 2.4 سانتی متر؛

ج) مثلث AOC برآمدگی متعامد مثلث ABC بر روی صفحه α است.

د) مساحت مثلث AOB 3 سانتی متر مربع است.

(پاسخ: الف) صحیح; ب) اشتباه؛ ج) نادرست؛ د) درست است.)

اثبات تفصیلی قضیه طرح ریزی متعامد چند ضلعی

اگر طرح یک تخت است n -گون به یک صفحه، پس زاویه بین صفحات چندضلعی ها کجاست و. به عبارت دیگر، مساحت طرح یک چندضلعی مسطح برابر است با حاصلضرب مساحت چند ضلعی پیش بینی شده و کسینوس زاویه بین صفحه طرح ریزی شده و صفحه چندضلعی پیش بینی شده.

اثبات من صحنه. بیایید ابتدا اثبات را برای یک مثلث انجام دهیم. بیایید 5 مورد را در نظر بگیریم.

1 مورد. در صفحه پروجکشن دراز بکشید .

اجازه دهید به ترتیب پیش بینی نقاط روی صفحه باشد. در مورد ما. بیایید این را فرض کنیم. اجازه دهید ارتفاع باشد، سپس با قضیه سه عمود می توانیم نتیجه بگیریم که - ارتفاع (- برآمدگی مایل، - قاعده آن و خط مستقیم از پایه مایل می گذرد، و).

در نظر بگیریم. مستطیل شکل است. با تعریف کسینوس:

از سوی دیگر، از آنجایی که و، بنا به تعریف، زاویه خطی زاویه دو وجهی است که توسط نیم صفحه‌های صفحات و با خط مستقیم مرزی تشکیل می‌شود، و بنابراین، اندازه آن نیز اندازه‌گیری زاویه بین سطوح برآمدگی مثلث و خود مثلث، یعنی.

بیایید نسبت مساحت را به:

توجه داشته باشید که این فرمول حتی زمانی که درست باقی می ماند. در این مورد

مورد 2. فقط در صفحه طرح ریزی قرار دارد و موازی با صفحه طرح ریزی است .

اجازه دهید به ترتیب پیش بینی نقاط روی صفحه باشد. در مورد ما.

بیایید یک خط مستقیم از طریق نقطه رسم کنیم. در مورد ما، خط مستقیم صفحه طرح را قطع می کند، به این معنی که، با لم، خط مستقیم نیز صفحه طرح را قطع می کند. بگذارید این در نقطه‌ای باشد از آنجا که، پس نقاط در یک صفحه قرار می‌گیرند، و از آنجایی که موازی با صفحه برون‌تابی است، در نتیجه علامت موازی خط و صفحه نتیجه آن است. بنابراین متوازی الاضلاع است. بیایید در نظر بگیریم و. آنها از سه ضلع برابر هستند (ضلع مشترک مانند اضلاع مقابل متوازی الاضلاع است). توجه داشته باشید که یک چهار ضلعی مستطیل است و برابر است (در امتداد ساق و هیپوتنوز)، بنابراین از سه ضلع برابر است. از همین رو.

برای مورد قابل اجرا 1:، یعنی.

مورد 3. فقط در صفحه طرح ریزی قرار دارد و موازی با صفحه طرح ریزی نیست .

بگذارید نقطه نقطه تلاقی خط با صفحه طرح ریزی باشد. توجه داشته باشید که و. در 1 مورد: i. بنابراین ما آن را دریافت می کنیم

مورد 4 رئوس در صفحه طرح ریزی قرار ندارند . بیایید به عمودها نگاه کنیم. اجازه دهید از بین این عمودها کوچکترین را انتخاب کنیم. بگذارید عمود باشد. ممکن است معلوم شود که یا فقط یا فقط است. سپس به هر حال آن را می گیریم.

اجازه دهید یک نقطه را از یک نقطه در یک قطعه کنار بگذاریم، به طوری که، و از یک نقطه در یک قطعه، یک نقطه، به طوری که. این ساخت به این دلیل امکان پذیر است که کوچکترین عمود است. توجه داشته باشید که یک طرح ریزی از و توسط ساخت است. بیایید ثابت کنیم که و برابر هستیم.

یک چهارضلعی را در نظر بگیرید. با توجه به شرط - عمود بر یک صفحه، بنابراین، با توجه به قضیه، بنابراین. از آنجایی که با ساخت، پس بر اساس ویژگی های متوازی الاضلاع (توسط اضلاع مقابل موازی و مساوی)، می توان نتیجه گرفت که متوازی الاضلاع است. به معنای، . به همین ترتیب، ثابت شده است که، . بنابراین، و از سه طرف برابر هستند. از همین رو. توجه داشته باشید که و به عنوان اضلاع متوازی الاضلاع متوازی الاضلاع، بنابراین، بر اساس موازی بودن صفحات، . از آنجایی که این صفحات موازی هستند، زاویه یکسانی را با صفحه طرح ریزی تشکیل می دهند.

موارد قبلی اعمال می شود:.

مورد 5. صفحه طرح ریزی دو طرف را قطع می کند . بیایید به خطوط مستقیم نگاه کنیم. آنها عمود بر صفحه طرح ریزی هستند، بنابراین بر اساس قضیه موازی هستند. در پرتوهای هم جهت با مبدا در نقاط، ما به ترتیب قطعات مساوی را ترسیم می کنیم، به طوری که رئوس خارج از صفحه نمایش قرار می گیرند. توجه داشته باشید که یک طرح ریزی از و توسط ساخت است. بیایید نشان دهیم که برابر است.

از آنجا که و، توسط ساخت و ساز، پس از آن. بنابراین با توجه به ویژگی متوازی الاضلاع (روی دو ضلع مساوی و موازی) متوازی الاضلاع است. به روشی مشابه ثابت می شود که و متوازی الاضلاع هستند. اما سپس، و (به عنوان اضلاع مخالف)، بنابراین در سه طرف برابر هستند. به معنای، .

علاوه بر این، و بنابراین، بر اساس موازی بودن هواپیماها. از آنجایی که این صفحات موازی هستند، زاویه یکسانی را با صفحه طرح ریزی تشکیل می دهند.

برای مورد قابل اجرا 4:.

II صحنه. بیایید یک چند ضلعی مسطح را با استفاده از مورب های رسم شده از راس به مثلث ها تقسیم کنیم: سپس طبق حالت های قبلی برای مثلث ها: .

Q.E.D.