Gebrochene rationale Gleichungen. Lösungsalgorithmus. Algorithmus zum Lösen von Gleichungen? Algorithmus zur Lösung von Gleichungen 7

Gleichungssysteme werden im Wirtschaftsbereich häufig zur mathematischen Modellierung verschiedener Prozesse eingesetzt. Zum Beispiel bei der Lösung von Problemen des Produktionsmanagements und der Produktionsplanung, Logistikrouten (Transportproblem) oder der Geräteplatzierung.

Gleichungssysteme werden nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der Physik, Chemie und Biologie zur Lösung von Problemen zur Bestimmung der Bevölkerungsgröße verwendet.

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei oder mehr Gleichungen mit mehreren Variablen, für die eine gemeinsame Lösung gefunden werden muss. Eine solche Zahlenfolge, bei der alle Gleichungen zu wahren Gleichheiten werden oder beweisen, dass die Folge nicht existiert.

Lineare Gleichung

Gleichungen der Form ax+by=c heißen linear. Die Bezeichnungen x, y sind die Unbekannten, deren Wert gefunden werden muss, b, a sind die Koeffizienten der Variablen, c ist der freie Term der Gleichung.
Wenn Sie eine Gleichung durch Auftragen lösen, sieht sie wie eine gerade Linie aus, deren Punkte alle Lösungen des Polynoms sind.

Arten von linearen Gleichungssystemen

Als einfachste Beispiele gelten Systeme linearer Gleichungen mit zwei Variablen X und Y.

F1(x, y) = 0 und F2(x, y) = 0, wobei F1,2 Funktionen und (x, y) Funktionsvariablen sind.

Gleichungssystem lösen - Dies bedeutet, Werte (x, y) zu finden, bei denen das System zu einer echten Gleichheit wird, oder festzustellen, dass keine geeigneten Werte für x und y existieren.

Ein Wertepaar (x, y), geschrieben als Koordinaten eines Punktes, wird als Lösung eines linearen Gleichungssystems bezeichnet.

Wenn Systeme eine gemeinsame Lösung haben oder keine Lösung existiert, werden sie als äquivalent bezeichnet.

Homogene lineare Gleichungssysteme sind Systeme, deren rechte Seite gleich Null ist. Wenn der rechte Teil nach dem Gleichheitszeichen einen Wert hat oder durch eine Funktion ausgedrückt wird, ist ein solches System heterogen.

Die Anzahl der Variablen kann viel mehr als zwei betragen, dann sollten wir über ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit drei oder mehr Variablen sprechen.

Wenn Schüler mit Systemen konfrontiert werden, gehen sie davon aus, dass die Anzahl der Gleichungen zwangsläufig mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmen muss, was jedoch nicht der Fall ist. Die Anzahl der Gleichungen im System hängt nicht von den Variablen ab, es können beliebig viele davon vorhanden sein.

Einfache und komplexe Methoden zur Lösung von Gleichungssystemen

Es gibt keine allgemeine analytische Methode zur Lösung solcher Systeme; alle Methoden basieren auf numerischen Lösungen. Der Schulmathematikkurs beschreibt ausführlich Methoden wie Permutation, algebraische Addition, Substitution sowie grafische und Matrixmethoden, Lösung nach der Gaußschen Methode.

Die Hauptaufgabe bei der Vermittlung von Lösungsmethoden besteht darin, zu lehren, wie man das System richtig analysiert und für jedes Beispiel den optimalen Lösungsalgorithmus findet. Die Hauptsache besteht nicht darin, sich ein System von Regeln und Aktionen für jede Methode zu merken, sondern die Prinzipien der Verwendung einer bestimmten Methode zu verstehen

Das Lösen von Beispielen für lineare Gleichungssysteme im allgemeinbildenden Lehrplan der 7. Klasse ist recht einfach und wird ausführlich erklärt. In jedem Mathematiklehrbuch wird diesem Abschnitt genügend Aufmerksamkeit geschenkt. Die Lösung von Beispielen linearer Gleichungssysteme mit der Gauß- und Cramer-Methode wird in den ersten Studienjahren genauer untersucht.

Lösen von Systemen mit der Substitutionsmethode

Die Aktionen der Substitutionsmethode zielen darauf ab, den Wert einer Variablen durch die zweite auszudrücken. Der Ausdruck wird in die verbleibende Gleichung eingesetzt und dann auf eine Form mit einer Variablen reduziert. Die Aktion wird abhängig von der Anzahl der Unbekannten im System wiederholt

Geben wir eine Lösung für ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems der Klasse 7 mit der Substitutionsmethode:

Wie aus dem Beispiel hervorgeht, wurde die Variable x durch F(X) = 7 + Y ausgedrückt. Der resultierende Ausdruck, der anstelle von X in die zweite Gleichung des Systems eingesetzt wurde, trug dazu bei, eine Variable Y in der zweiten Gleichung zu erhalten . Das Lösen dieses Beispiels ist einfach und ermöglicht es Ihnen, den Y-Wert zu ermitteln. Der letzte Schritt besteht darin, die erhaltenen Werte zu überprüfen.

Es ist nicht immer möglich, ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems durch Substitution zu lösen. Die Gleichungen können komplex sein und die Variable als zweite Unbekannte auszudrücken wäre für weitere Berechnungen zu umständlich. Wenn das System mehr als drei Unbekannte enthält, ist die Lösung durch Substitution ebenfalls ungeeignet.

Lösung eines Beispiels eines Systems linearer inhomogener Gleichungen:

Lösung mit algebraischer Addition

Bei der Suche nach Systemlösungen mit der Additionsmethode werden Gleichungen Term für Term addiert und mit verschiedenen Zahlen multipliziert. Das ultimative Ziel mathematischer Operationen ist eine Gleichung in einer Variablen.

Die Anwendung dieser Methode erfordert Übung und Beobachtung. Es ist nicht einfach, ein lineares Gleichungssystem mit der Additionsmethode zu lösen, wenn drei oder mehr Variablen vorhanden sind. Die algebraische Addition ist praktisch, wenn Gleichungen Brüche und Dezimalzahlen enthalten.

Lösungsalgorithmus:

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit einer bestimmten Zahl. Als Ergebnis der arithmetischen Operation sollte einer der Koeffizienten der Variablen gleich 1 werden.
Addieren Sie den resultierenden Ausdruck Term für Term und finden Sie eine der Unbekannten.
Setzen Sie den resultierenden Wert in die zweite Gleichung des Systems ein, um die verbleibende Variable zu finden.

Lösungsmethode durch Einführung einer neuen Variablen

Eine neue Variable kann eingeführt werden, wenn das System die Suche nach einer Lösung für nicht mehr als zwei Gleichungen erfordert; die Anzahl der Unbekannten sollte ebenfalls nicht mehr als zwei betragen.

Die Methode wird verwendet, um eine der Gleichungen durch Einführung einer neuen Variablen zu vereinfachen. Die neue Gleichung wird nach der eingeführten Unbekannten gelöst und der resultierende Wert wird zur Bestimmung der ursprünglichen Variablen verwendet.

Das Beispiel zeigt, dass es durch die Einführung einer neuen Variablen t möglich war, die 1. Gleichung des Systems auf ein quadratisches Standardtrinom zu reduzieren. Sie können ein Polynom lösen, indem Sie die Diskriminante ermitteln.

Der Wert der Diskriminante muss mithilfe der bekannten Formel D = b2 - 4*a*c ermittelt werden, wobei D die gewünschte Diskriminante und b, a, c die Faktoren des Polynoms sind. Im gegebenen Beispiel ist a=1, b=16, c=39, also D=100. Wenn die Diskriminante größer als Null ist, gibt es zwei Lösungen: t = -b±√D / 2*a, wenn die Diskriminante kleiner als Null ist, dann gibt es eine Lösung: x = -b / 2*a.

Die Lösung für die resultierenden Systeme wird durch die Additionsmethode gefunden.

Visuelle Methode zur Lösung von Systemen

Geeignet für 3 Gleichungssysteme. Die Methode besteht darin, Diagramme jeder im System enthaltenen Gleichung auf der Koordinatenachse zu erstellen. Die Koordinaten der Schnittpunkte der Kurven sind die allgemeine Lösung des Systems.

Die grafische Methode weist eine Reihe von Nuancen auf. Schauen wir uns einige Beispiele für die visuelle Lösung linearer Gleichungssysteme an.

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, wurden für jede Linie zwei Punkte konstruiert, die Werte der Variablen x wurden willkürlich gewählt: 0 und 3. Basierend auf den Werten von x wurden die Werte für y gefunden: 3 und 0. Punkte mit den Koordinaten (0, 3) und (3, 0) wurden im Diagramm markiert und durch eine Linie verbunden.

Die Schritte müssen für die zweite Gleichung wiederholt werden. Der Schnittpunkt der Geraden ist die Lösung des Systems.

Im folgenden Beispiel muss eine grafische Lösung für ein lineares Gleichungssystem gefunden werden: 0,5x-y+2=0 und 0,5x-y-1=0.

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, hat das System keine Lösung, da die Graphen parallel sind und sich nicht auf ihrer gesamten Länge schneiden.

Die Systeme aus den Beispielen 2 und 3 sind ähnlich, beim Aufbau wird jedoch deutlich, dass ihre Lösungen unterschiedlich sind. Es sollte beachtet werden, dass es nicht immer möglich ist, zu sagen, ob ein System eine Lösung hat oder nicht; es ist immer notwendig, einen Graphen zu erstellen.

Die Matrix und ihre Varianten

Matrizen werden verwendet, um ein System linearer Gleichungen präzise zu schreiben. Eine Matrix ist eine spezielle Art von Tabelle, die mit Zahlen gefüllt ist. n*m hat n - Zeilen und m - Spalten.

Eine Matrix ist quadratisch, wenn die Anzahl der Spalten und Zeilen gleich ist. Ein Matrixvektor ist eine Matrix aus einer Spalte mit einer unendlich möglichen Anzahl von Zeilen. Eine Matrix mit Einsen entlang einer der Diagonalen und anderen Nullelementen wird Identität genannt.

Eine inverse Matrix ist eine Matrix, bei deren Multiplikation sich die ursprüngliche in eine Einheitsmatrix verwandelt; eine solche Matrix existiert nur für die ursprüngliche quadratische Matrix.

Regeln zur Umwandlung eines Gleichungssystems in eine Matrix

In Bezug auf Gleichungssysteme werden die Koeffizienten und freien Terme der Gleichungen als Matrixzahlen geschrieben; eine Gleichung ist eine Zeile der Matrix.

Eine Matrixzeile heißt ungleich Null, wenn mindestens ein Element der Zeile ungleich Null ist. Wenn also in einer der Gleichungen die Anzahl der Variablen unterschiedlich ist, muss anstelle der fehlenden Unbekannten eine Null eingegeben werden.

Die Matrixspalten müssen genau den Variablen entsprechen. Das bedeutet, dass die Koeffizienten der Variablen x nur in eine Spalte geschrieben werden können, zum Beispiel die erste, der Koeffizient der Unbekannten y – nur in die zweite.

Bei der Multiplikation einer Matrix werden alle Elemente der Matrix nacheinander mit einer Zahl multipliziert.

Optionen zum Finden der inversen Matrix

Die Formel zum Ermitteln der inversen Matrix ist recht einfach: K -1 = 1 / |K|, wobei K -1 die inverse Matrix und |K| ist ist die Determinante der Matrix. |K| darf nicht gleich Null sein, dann hat das System eine Lösung.

Die Determinante lässt sich für eine Zwei-mal-Zwei-Matrix leicht berechnen; Sie müssen lediglich die Diagonalelemente miteinander multiplizieren. Für die Option „drei mal drei“ gibt es eine Formel |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Sie können die Formel verwenden oder sich merken, dass Sie aus jeder Zeile und jeder Spalte ein Element entnehmen müssen, damit sich die Anzahl der Spalten und Elementreihen in der Arbeit nicht wiederholt.

Beispiele für lineare Gleichungssysteme mit der Matrixmethode lösen

Mit der Matrixlösungsmethode können Sie umständliche Eingaben beim Lösen von Systemen mit einer großen Anzahl von Variablen und Gleichungen reduzieren.

Im Beispiel sind a nm die Koeffizienten der Gleichungen, die Matrix ist ein Vektor, x n sind Variablen und b n sind freie Terme.

Lösen von Systemen mit der Gaußschen Methode

In der höheren Mathematik wird die Gauß-Methode zusammen mit der Cramer-Methode untersucht, und der Prozess der Lösungsfindung für Systeme wird als Gauß-Cramer-Lösungsmethode bezeichnet. Diese Methoden werden verwendet, um Variablen von Systemen mit einer großen Anzahl linearer Gleichungen zu finden.

Die Gauß-Methode ähnelt stark den Lösungen durch Substitution und algebraische Addition, ist jedoch systematischer. Im Schulunterricht wird die Lösung nach der Gaußschen Methode für Systeme mit 3 und 4 Gleichungen verwendet. Der Zweck der Methode besteht darin, das System auf die Form eines umgekehrten Trapezes zu reduzieren. Durch algebraische Transformationen und Substitutionen wird der Wert einer Variablen in einer der Gleichungen des Systems ermittelt. Die zweite Gleichung ist ein Ausdruck mit 2 Unbekannten, während 3 und 4 jeweils mit 3 bzw. 4 Variablen sind.

Nachdem das System in die beschriebene Form gebracht wurde, reduziert sich die weitere Lösung auf die sequentielle Substitution bekannter Variablen in die Gleichungen des Systems.

In Schulbüchern für die 7. Klasse wird ein Beispiel für eine Lösung nach der Gauß-Methode wie folgt beschrieben:

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, wurden in Schritt (3) zwei Gleichungen erhalten: 3x 3 -2x 4 =11 und 3x 3 +2x 4 =7. Wenn Sie eine der Gleichungen lösen, können Sie eine der Variablen x n herausfinden.

Der im Text erwähnte Satz 5 besagt, dass, wenn eine der Gleichungen des Systems durch eine äquivalente ersetzt wird, das resultierende System auch äquivalent zum ursprünglichen ist.

Die Gaußsche Methode ist für Schüler der Mittelstufe schwer zu verstehen, aber sie ist eine der interessantesten Möglichkeiten, den Einfallsreichtum von Kindern zu fördern, die in fortgeschrittenen Lernprogrammen im Mathematik- und Physikunterricht eingeschrieben sind.

Um die Aufzeichnung zu erleichtern, werden Berechnungen normalerweise wie folgt durchgeführt:

Die Koeffizienten der Gleichungen und freien Terme werden in Form einer Matrix geschrieben, wobei jede Zeile der Matrix einer der Gleichungen des Systems entspricht. trennt die linke Seite der Gleichung von der rechten. Römische Ziffern geben die Nummern der Gleichungen im System an.

Notieren Sie zunächst die Matrix, mit der gearbeitet werden soll, und anschließend alle Aktionen, die mit einer der Zeilen ausgeführt werden. Die resultierende Matrix wird nach dem „Pfeil“-Zeichen geschrieben und die notwendigen algebraischen Operationen werden fortgesetzt, bis das Ergebnis erreicht ist.

Das Ergebnis sollte eine Matrix sein, in der eine der Diagonalen gleich 1 ist und alle anderen Koeffizienten gleich Null sind, das heißt, die Matrix wird auf eine Einheitsform reduziert. Wir dürfen nicht vergessen, Berechnungen mit Zahlen auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.

Diese Aufnahmemethode ist weniger umständlich und ermöglicht es Ihnen, sich nicht durch das Auflisten zahlreicher Unbekannter ablenken zu lassen.

Der freie Einsatz jeder Lösungsmethode erfordert Sorgfalt und etwas Erfahrung. Nicht alle Methoden sind angewandter Natur. Einige Methoden zur Lösungsfindung sind in einem bestimmten Bereich menschlicher Tätigkeit vorzuziehen, während andere für Bildungszwecke existieren.

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Zusammenfassung der Lektion zum Thema „Gleichungen lösen“ (Klasse 6)

Zweck der Lektion: Wenden Sie das erworbene Wissen beim Lösen von Gleichungen an.

Unterrichtsart: Erläuterung von neuem Material.

Unterrichtsplan:

Erledigung von Aufgaben zur Vereinfachung von Ausdrücken, Ausfüllen von Tabellen und Erkennen der Vorgehensweise beim Lösen von Gleichungen.

Durch das Lösen von Wägeproblemen stellt sich das Problem, neue Gleichungen zu lösen.

Notieren Sie den Algorithmus zum Lösen von Gleichungen paarweise in einem Notizbuch.

Gleichungen mit einem Algorithmus lösen. Indem sie nur die Übertragung von Termen von einem Teil der Gleichung auf einen anderen üben, lösen starke Schüler die Gleichung bis zum Ende und verteidigen die Lösung am Ende der Lektion.

Während des Unterrichts:

Den Ausdruck vereinfachen:

Beachten Sie, dass die Summe der entgegengesetzten Terme gleich 0 ist.

Ein Problem lösen.

Auf der einen Seite der Waage befinden sich 5 Brote, auf der anderen Seite 1 solcher Laib und Gewichte von 5 kg, 2 kg und 1 kg. Bestimmen Sie das Gewicht von 1 Laib Brot.

Lösung:

Sei x kg das Gewicht von 1 Laib Brot,

5 x kg – das Gewicht von 5 solchen Broten.

Sie können eine Gleichung erstellen: 5 X = X +8

Subtrahieren Sie x von beiden Seiten der Gleichung (entfernen Sie 1 Laib Brot von beiden Skalen).

Sie können auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl hinzufügen.Ö.

Wir erhalten 5 x- x = x- x +8.

Aber x - x= 0, was bedeutet 5 X - X = 8.

Diese Gleichung kann daraus erhalten werden, wenn der Term X Bewegen Sie sich von der rechten Seite nach links und ändern Sie dabei das Vorzeichen in das Gegenteil.

Vereinfachung der linken Seite der Gleichung 5 X - X = 8, wir bekommen 4 x= 8.

Teilen wir beide Seiten der Gleichung durch den Koeffizienten der Variablen

Sie können beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl (außer 0) multiplizieren (dividieren).

Die Nummer 2 sind die Gleichungen 5 X = X +8 , seit 5 2=2+8.

Notieren Sie die Eigenschaften der Gleichungen in Ihren Notizen.

3. Algorithmus zum Lösen von Gleichungen.

1) Übertragen Sie die Terme, die die Variable enthalten, auf die linke Seite der Gleichung und die Zahlen auf die rechte Seite, und vergessen Sie nicht, beim Übertragen die Vorzeichen in die entgegengesetzten zu ändern;

2) Bringen Sie ähnliche Terme auf die linke und rechte Seite der Gleichung;

3) Teilen Sie die Zahl auf der rechten Seite der Gleichung durch den Koeffizienten der Variablen.

Arbeiten mit einer Regel (Schüler erklären sich paarweise gegenseitig die Regel anhand der Karte auf der Folie)

1) Übertragen Sie die Terme, die ………….. enthalten, auf die linke Seite der Gleichung und …….. auf die rechte Seite, wobei Sie beim Übertragen von …….. die Zeichen auf ………….. nicht vergessen;

2) bringen ………. Terme auf der linken und rechten Seite der Gleichung;

3) …....... Zahl auf der rechten Seite der Gleichung am ……………. mit einer Variablen.

Eine kleine Geschichte.

Die erste Methode zur Transformation von Gleichungen wurde von dem berühmten arabischen Mathematiker Muhammad al-Khorezmi beschrieben, der an der Wende vom 9. zum 10. Jahrhundert in Khorezmi und Bagdad lebte. Eines seiner Hauptwerke bedeutet aus dem Arabischen übersetzt „Das Buch der Wiederherstellung und Opposition“. Indem wir die Terme der Gleichung von einem Teil auf einen anderen übertragen, „zerstören“ wir sie in einem Teil, „wiederherstellen“ sie jedoch in dem anderen und ändern ihre Vorzeichen in die entgegengesetzten. Restaurierung – auf Arabisch al-jabr. Der Name kommt von diesem Wort - Algebra. Die Algebra, die Sie studieren werden, entstand und entwickelte sich vor vielen Jahrhunderten genau als Wissenschaft vom Lösen von Gleichungen.

Gleichungen lösen

Die Schüler analysieren anhand von Folien die Lösung von Gleichungen und schreiben die Lösung in ein Notizbuch.

1) 3x -12 = 0

3x – 2 = 10

3) 2x – 2 = 10 -X

Lösen von Multiple-Choice-Gleichungen

1) 5x – 2 = 18

2) 7x = x + 24

B. 7x – x = 24

2x – 4 = 6x – 20

A. 2x - 6x = -20 + 4

B. 6x – 2x = 4-20

B. 2x – 6x = 20 +4

3x + 9 = x + 9

A. 3x + x = 9 + 9

B. 3x – x = 9 – 9

B. 9 – 9 = x – 3x

Eine Gruppe stärkerer Schüler wird gebeten, die Gleichungen bis zum Ende zu lösen und ihre Lösung zu verteidigen.

Antworten: 4, 4, 4, 0.

Finden Sie den Fehler

Ausdrücke vereinfachen

Die Lösung des Problems

Arbeiten mit der Algorithmusformulierung

Auswahl der richtigen Zeile

Gleichungen lösen

Extra Punkte

Ergebnisliste der selbständigen Arbeit des/der Schüler(s) ………………….. Klasse ………...

Ausdrücke vereinfachen

Die Lösung des Problems

Arbeiten mit der Algorithmusformulierung

Auswahl der richtigen Zeile

Gleichungen lösen

Extra Punkte

0 b – die Aufgabe wurde nicht erledigt, 1 b – die Aufgabe wurde teilweise erledigt, 2 b – die Aufgabe wurde erledigt, aber Sie haben Hilfe erhalten, 3 b – die Aufgabe wurde vollständig und selbstständig erledigt

Ergebnisliste der selbständigen Arbeit des/der Schüler(s) ………………….. Klasse ………...

Ausdrücke vereinfachen

Die Lösung des Problems

Arbeiten mit der Algorithmusformulierung

Auswahl der richtigen Zeile

Gleichungen lösen

Extra Punkte

Ergebnisliste der selbständigen Arbeit des/der Schüler(s) ………………….. Klasse ………...

Ausdrücke vereinfachen

Die Lösung des Problems

Arbeiten mit der Algorithmusformulierung

Auswahl der richtigen Zeile

Gleichungen lösen

Extra Punkte

Ergebnisliste der selbständigen Arbeit des/der Schüler(s) ………………….. Klasse ………...

Ausdrücke vereinfachen

Die Lösung des Problems

Arbeiten mit der Algorithmusformulierung

Auswahl der richtigen Zeile

Gleichungen lösen

Extra Punkte

Ergebnisliste der selbständigen Arbeit des/der Schüler(s) ………………….. Klasse ………...

Ausdrücke vereinfachen

Die Lösung des Problems

Arbeiten mit der Algorithmusformulierung

Auswahl der richtigen Zeile

Gleichungen lösen

Extra Punkte

„Gauß- und Cramer-Methode“ – Gauß-Methode. Elementare Transformationen. Teilen wir die erste Gleichung des Systems (1) durch a11. (5). Gauß starb am 23. Februar 1855 in Göttingen. Die Gauß-Methode ist eine klassische Methode zur Lösung eines Systems linearer algebraischer Gleichungen. Dann werden x2 und x3 in die erste Gleichung eingesetzt und x1 wird gefunden. Lassen Sie den Koeffizienten.

„Gleichungen und Ungleichungen“ – Besteht aus Folgendem: Erstellen von Graphen zweier Funktionen in einem Koordinatensystem. 4. Grafische Methode zur Bestimmung der Anzahl der Wurzeln einer Gleichung. 3. Wie viele Wurzeln hat die Gleichung? 2. Finden Sie die Summe der Zahlen, die die Ungleichung erfüllen. Das System grafisch lösen. 3. Finden Sie das Intervall mit der größten ganzen Zahl, die die Ungleichung erfüllt.

„Satz von Gauß-Markov“ – Beweisen wir die Unvoreingenommenheit von Schätzungen (7.3). Bilden wir Vektoren und eine Koeffizientenmatrix basierend auf System (7.2). Wenn die Matrix X nicht kollinear ist und der Vektor zufälliger Störungen die folgenden Anforderungen erfüllt: Wo. (7.7). Um die notwendige Bedingung für ein Extremum zu erhalten, differenzieren wir (7.6) nach dem Parametervektor.

„Methoden zur Lösung von Gleichungssystemen“ – B. 1. Berechnen Sie: 14. 6. Wie viel Prozent beträgt die Zahl 8 ihres Quadrats? 12. 7. Finden Sie die größte Wurzel der Gleichung. 9. Der Graph welcher Funktion ist in der Abbildung dargestellt? Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks. %. X. O. V. 15x + 10(1 – x) = 1.

„Irrationale Gleichung“ – Finden Sie den Fehler. Gleichungen, in denen die Variable unter dem Wurzelzeichen steht, nennt man irrational. ? X – 6 = 2? x – 3 = 0? x + 4 =7 ? 5 – x = 0? 2 – x = x + 4. PROBLEM: Schüler wissen nicht immer, wie sie Informationen über irrationale Gleichungen bewusst nutzen sollen. Ist die Zahl x die Wurzel der Gleichung: a)? x – 2 = ?2 – x, x0 = 4 b) ?2 – x = ? x – 2, x0 = 2 c) ? x – 5 = ? 2x – 13, x0 = 6 g) ? 1 – x = ? 1 + x, x0 = 0.

„Gleichungen mit einem Parameter lösen“ – Lösung. Beispiel. 6. Klasse. Beispiele: In der 5. Klasse können Sie bei der Überprüfung der Eigenschaften von Zahlen Beispiele berücksichtigen. Im außerschulischen Mathematikunterricht der 6. Klasse wird die Lösung von Gleichungen mit Parametern der Form betrachtet: 1) ax = 6 2) (a – 1)x = 8,3 3) bx = -5. Für a = -1/2 erhalten wir die Gleichung 0x = 0. Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen.

Insgesamt gibt es 49 Vorträge

Wir haben bereits gelernt, wie man quadratische Gleichungen löst. Erweitern wir nun die untersuchten Methoden auf rationale Gleichungen.

Was ist ein rationaler Ausdruck? Wir sind diesem Konzept bereits begegnet. Rationale Ausdrücke sind Ausdrücke, die aus Zahlen, Variablen, ihren Potenzen und Symbolen mathematischer Operationen bestehen.

Dementsprechend sind rationale Gleichungen Gleichungen der Form: , wobei - rationale Ausdrücke.

Bisher haben wir nur solche rationalen Gleichungen betrachtet, die auf lineare Gleichungen reduziert werden können. Schauen wir uns nun die rationalen Gleichungen an, die auf quadratische Gleichungen reduziert werden können.

Beispiel 1

Löse die Gleichung: .

Lösung:

Ein Bruch ist genau dann gleich 0, wenn sein Zähler gleich 0 und sein Nenner ungleich 0 ist.

Wir erhalten das folgende System:

Die erste Gleichung des Systems ist eine quadratische Gleichung. Bevor wir es lösen, teilen wir alle seine Koeffizienten durch 3. Wir erhalten:

Wir erhalten zwei Wurzeln: ; .

Da 2 niemals gleich 0 ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein: . Da keine der Wurzeln der oben erhaltenen Gleichung mit den ungültigen Werten der Variablen übereinstimmt, die beim Lösen der zweiten Ungleichung erhalten wurden, handelt es sich bei beiden um Lösungen dieser Gleichung.

Antwort:.

Formulieren wir also einen Algorithmus zur Lösung rationaler Gleichungen:

1. Verschieben Sie alle Terme auf die linke Seite, sodass die rechte Seite mit 0 endet.

2. Transformieren und vereinfachen Sie die linke Seite und bringen Sie alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.

3. Setzen Sie den resultierenden Bruch mit dem folgenden Algorithmus mit 0 gleich: .

4. Schreiben Sie die Wurzeln auf, die in der ersten Gleichung erhalten wurden, und erfüllen Sie die zweite Ungleichung in der Antwort.

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an.

Beispiel 2

Löse die Gleichung: .

Lösung

Ganz am Anfang verschieben wir alle Terme nach links, sodass rechts 0 übrig bleibt. Wir erhalten:

Bringen wir nun die linke Seite der Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner:

Diese Gleichung entspricht dem System:

Die erste Gleichung des Systems ist eine quadratische Gleichung.

Koeffizienten dieser Gleichung: . Wir berechnen die Diskriminante:

Wir erhalten zwei Wurzeln: ; .

Lösen wir nun die zweite Ungleichung: Das Produkt der Faktoren ist genau dann ungleich 0, wenn keiner der Faktoren gleich 0 ist.

Zwei Bedingungen müssen erfüllt sein: . Wir stellen fest, dass von den beiden Wurzeln der ersten Gleichung nur eine geeignet ist – 3.

Antwort:.

In dieser Lektion haben wir uns daran erinnert, was ein rationaler Ausdruck ist, und haben auch gelernt, wie man rationale Gleichungen löst, die sich auf quadratische Gleichungen reduzieren lassen.

In der nächsten Lektion werden wir rationale Gleichungen als Modelle realer Situationen betrachten und uns auch mit Bewegungsproblemen befassen.

Referenzliste

Baschmakow M.I. Algebra, 8. Klasse. - M.: Bildung, 2004.
Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. und andere. Algebra, 8. 5. Aufl. - M.: Bildung, 2010.
Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. Klasse. Lehrbuch für allgemeinbildende Einrichtungen. - M.: Bildung, 2006.

Festival pädagogischer Ideen „Offene Lektion“ ().
School.xvatit.com ().
Rudocs.exdat.com ().

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