Tg 1 lygtis. Arktangentas ir arkotangentas. Lygčių tgx = a, ctgx = a sprendimas - Žinių hipermarketas. Tangento ir kotangento savybės
Šioje pamokoje toliau nagrinėsime arktangentą ir spręsime tg x = a formos lygtis bet kuriai a. Pamokos pradžioje išspręsime lygtį su lentelės reikšme ir sprendimą iliustruosime grafike, o po to apskritime. Toliau išsprendžiame lygtį tgx = a bendra forma ir gauname bendrąją atsakymo formulę. Pavaizduokime skaičiavimus grafike ir apskritime ir apsvarstykime skirtingas atsakymo formas. Pamokos pabaigoje grafike ir apskritime iliustruotais sprendimais išspręsime keletą uždavinių.
Tema: Trigonometrinės lygtys
Pamoka: Arktangentas ir lygties tgx=a sprendimas (tęsinys)
1. Pamokos tema, įvadas
Šioje pamokoje apžvelgsime bet kurios realybės lygties sprendimą
2. Lygties tgx=√3 sprendimas
1 uždavinys. Išspręskite lygtį
Raskime sprendimą naudodami funkcijų grafikus 
(1 pav.).
Panagrinėkime intervalą Šiame intervale funkcija yra monotoniška, tai reiškia, kad ji pasiekiama tik vienai funkcijos reikšmei.
Atsakymas: 
Išspręskime tą pačią lygtį naudodami skaičių apskritimą (2 pav.).
Atsakymas: 
3. Lygties tgx=a sprendimas bendrine forma
Išspręskime lygtį bendra forma (3 pav.).
Intervale lygtis turi unikalų sprendimą 
Mažiausiai teigiamas laikotarpis
Pavaizduokime skaičių apskritimą (4 pav.).
4. Problemų sprendimas
2 uždavinys. Išspręskite lygtį
Pakeiskime kintamąjį
3 uždavinys. Išspręskite sistemą:
Sprendimas (5 pav.):
Todėl taške vertė yra sprendimas, todėl sistema yra tik taškas
Atsakymas: 
4 uždavinys. Išspręskite lygtį 
Išspręskime naudodami kintamųjų keitimo metodą:
5 uždavinys. Raskite lygties sprendinių skaičių intervale 
Išspręskime uždavinį naudodamiesi grafiku (6 pav.).
Tam tikrame intervale lygtis turi tris sprendinius.
Pavaizduokime jį skaičių apskritime (7 pav.), nors jis nėra toks aiškus kaip grafike.
Atsakymas: trys sprendimai.
5. Išvada, išvada
Mes išsprendėme bet kurios realybės lygtį naudodami arctangento sąvoką. Kitoje pamokoje supažindinsime su lanko tangento sąvoka.
Bibliografija
1. Algebra ir analizės pradžia, 10 klasė (iš dviejų dalių). Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms (profilio lygis), red. A. G. Mordkovičius. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra ir analizės pradžia, 10 balas (dviejų dalių). Probleminė knyga švietimo įstaigoms (profilio lygis), red. A. G. Mordkovičius. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov O. S., Shvartsburd S. I. Algebra ir matematinė analizė 10 klasei (mokyklų ir klasių mokiniams su nuodugniais matematikos mokymais - M.: Prosveshchenie, 1996).
4. Galitsky M. L., Moshkovich M. M., Shvartsburd S. I. Išsamus algebros ir matematinės analizės tyrimas - M.: Prosveshchenie, 1997 m.
5. Matematikos uždavinių rinkinys stojantiesiems į aukštąsias mokyklas (redagavo M. I. Skanavi - M.: Aukštoji mokykla, 1992).
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebrinis simuliatorius.-K.: A.S.K., 1997 m.
7. Sahakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. Algebros problemos ir analizės principai (vadovas bendrojo ugdymo įstaigų 10-11 klasių mokiniams - M.: Prosveshchenie, 2003).
8. Karp A.P. Algebros uždavinių rinkinys ir analizės principai: vadovėlis. priedą už 10-11 klases. su gyliu studijavo Matematika.-M.: Švietimas, 2006 m.
Namų darbai
Algebra ir analizės pradžia, 10 klasė (iš dviejų dalių). Probleminė knyga švietimo įstaigoms (profilio lygis), red. A. G. Mordkovičius. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 22.18, 22.21.
Papildomi žiniatinklio ištekliai
1. Matematika.
2. Interneto portalo problemos. ru.
3. Mokomasis pasiruošimo egzaminams portalas.
Centruota taške A.
α yra kampas, išreikštas radianais.
Tangentas ( įdegis α) yra trigonometrinė funkcija, priklausanti nuo kampo α tarp hipotenuzės ir stačiojo trikampio kojos, lygi priešingos kojos ilgio santykiui |BC| iki gretimos kojos ilgio |AB| .
Kotangentas ( ctg α) yra trigonometrinė funkcija, priklausanti nuo kampo α tarp hipotenuzės ir stačiojo trikampio kojos, lygi gretimos kojos ilgio santykiui |AB| į priešingos kojos ilgį |BC| .
Tangentas
Kur n- visas.
Vakarų literatūroje tangentas žymimas taip:
.
;
;
.
Tangentinės funkcijos grafikas, y = tan x
Kotangentas
Kur n- visas.
Vakarų literatūroje kotangentas žymimas taip:
.
Taip pat priimami šie užrašai:
;
;
.
Kotangentinės funkcijos grafikas, y = ctg x
Tangento ir kotangento savybės
Periodiškumas
Funkcijos y = tg x ir y = ctg x yra periodiniai su periodu π.
Paritetas
Tangentinės ir kotangentinės funkcijos yra nelyginės.
Apibrėžimo ir vertybių sritys didėja, mažėja
Tangentinės ir kotangentinės funkcijos yra tolydžios savo apibrėžimo srityje (žr. tęstinumo įrodymą). Pagrindinės liestinės ir kotangento savybės pateiktos lentelėje ( n- visas).
| y= tg x | y= ctg x | |
| Taikymo sritis ir tęstinumas | ||
| Vertybių diapazonas | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Didėja | - | |
| Mažėjantis | - | |
| Kraštutinumai | - | - |
| Nuliai, y = 0 | ||
| Sukirtimo taškai su ordinačių ašimi, x = 0 | y= 0 | - |
Formulės
Išraiškos naudojant sinusą ir kosinusą
;
;
;
;
;
Sumos ir skirtumo liestinės ir kotangento formulės
Pavyzdžiui, likusias formules lengva gauti
Tangentų sandauga
Tangentų sumos ir skirtumo formulė
Šioje lentelėje pateikiamos tam tikrų argumento verčių liestinių ir kotangentų reikšmės. 
Išraiškos naudojant kompleksinius skaičius
Išraiškos per hiperbolines funkcijas
;
;
Dariniai
; .
.
N-osios eilės išvestinė funkcijos kintamojo x atžvilgiu:
.
Tangento > > > išvedimo formulės ; kotangentui >>>
Integralai
Serijos išplėtimai
Norėdami gauti x laipsnio liestinės išplėtimą, turite paimti keletą funkcijų laipsnių eilutės plėtimosi terminų nuodėmė x Ir cos x ir padalinti šiuos daugianario vieni iš kitų, . Taip gaunamos tokios formulės.
Prie .
adresu .
Kur Bn- Bernulio skaičiai. Jie nustatomi iš pasikartojimo santykio:
;
;
Kur.
Arba pagal Laplaso formulę: 
Atvirkštinės funkcijos
Atvirkštinės liestinės ir kotangentinės funkcijos yra atitinkamai arctangentinės ir arkotangentinės.
Arktangentas, arktg
, Kur n- visas.
Arkotangentas, arcctg
, Kur n- visas.
Nuorodos:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir kolegijų studentams, „Lan“, 2009 m.
G. Korn, Matematikos vadovas mokslininkams ir inžinieriams, 2012 m.
Anksčiau programoje mokiniai įgavo trigonometrinių lygčių sprendimo idėją, susipažino su lanko kosinuso ir arko sinuso sąvokomis bei lygčių cos t = a ir sin t = a sprendinių pavyzdžiais. Šiame vaizdo įraše apžvelgsime lygčių tg x = a ir ctg x = a sprendimą.
Norėdami pradėti studijuoti šią temą, apsvarstykite lygtis tg x = 3 ir tg x = - 3. Jei lygtį tg x = 3 išspręsime naudodami grafiką, pamatysime, kad funkcijų y = tg x ir grafikų sankirta y = 3 turi begalinį sprendinių skaičių, kur x = x 1 + πk. Reikšmė x 1 yra funkcijų y = tan x ir y = 3 grafikų susikirtimo taško x koordinatė. Autorius pristato arctangento sąvoką: arctan 3 yra skaičius, kurio tan yra lygus 3, o šis skaičius priklauso intervalui nuo -π/2 iki π/2. Naudojant arctangento sąvoką, lygties tan x = 3 sprendinį galima parašyti kaip x = arctan 3 + πk.
Analogiškai išspręsta lygtis tg x = - 3 Iš sukonstruotų funkcijų y = tg x ir y = - 3 grafikų aišku, kad grafikų susikirtimo taškai, taigi ir lygčių sprendiniai, bus. būti x = x 2 + πk. Naudojant arctangentą, sprendimas gali būti parašytas x = arctan (- 3) + πk. Kitame paveikslėlyje matome, kad arctg (- 3) = - arctg 3.
Bendras arktangento apibrėžimas yra toks: arctangentas a yra skaičius iš intervalo nuo -π/2 iki π/2, kurio liestinė yra lygi a. Tada lygties tan x = a sprendinys yra x = arctan a + πk.
Autorius pateikia pavyzdį 1. Raskite reiškinio arctg sprendimą Įveskime žymėjimą: skaičiaus arctangentas yra lygus x, tada tg x bus lygus duotam skaičiui, kur x priklauso atkarpai iš -π. /2 iki π/2. Kaip ir ankstesnių temų pavyzdžiuose, naudosime reikšmių lentelę. Pagal šią lentelę šio skaičiaus liestinė atitinka reikšmę x = π/3. Užrašykime lygties sprendinį: duoto skaičiaus arctangentas lygus π/3, π/3 taip pat priklauso intervalui nuo -π/2 iki π/2.
2 pavyzdys – apskaičiuokite neigiamo skaičiaus arctangentą. Naudodami lygybę arctg (- a) = - arctg a, įvedame x reikšmę. Panašiai kaip 2 pavyzdyje, užrašome x reikšmę, kuri priklauso segmentui nuo -π/2 iki π/2. Iš verčių lentelės matome, kad x = π/3, todėl -- tg x = - π/3. Atsakymas į lygtį yra – π/3.
Panagrinėkime 3 pavyzdį. Išspręskite lygtį tg x = 1. Parašykite, kad x = arctan 1 + πk. Lentelėje reikšmė tg 1 atitinka reikšmę x = π/4, todėl arctg 1 = π/4. Pakeiskime šią reikšmę į pradinę formulę x ir parašykime atsakymą x = π/4 + πk.
4 pavyzdys: apskaičiuokite tan x = - 4.1. Šiuo atveju x = arctan (- 4,1) + πk. Nes Šiuo atveju neįmanoma rasti arctg reikšmės, atsakymas atrodys taip: x = arctg (- 4.1) + πk.
5 pavyzdyje nagrinėjamas nelygybės tg x > 1 sprendimas. Norėdami ją išspręsti, sudarome funkcijų y = tan x ir y = 1 grafikus. Kaip matyti paveikslėlyje, šie grafikai susikerta taškuose x =. π/4 + πk. Nes šiuo atveju tg x > 1, grafike paryškiname tangentoidinę sritį, esančią virš grafiko y = 1, kur x priklauso intervalui nuo π/4 iki π/2. Atsakymą rašome kaip π/4 + πk< x < π/2 + πk.
Toliau apsvarstykite lygtį cot x = a. Paveiksle pavaizduoti funkcijų y = cot x, y = a, y = - a, turinčių daug susikirtimo taškų, grafikai. Sprendimus galima užrašyti kaip x = x 1 + πk, kur x 1 = arcctg a ir x = x 2 + πk, kur x 2 = arcctg (- a). Pažymima, kad x 2 = π - x 1 . Tai reiškia lygybę arcctg (- a) = π - arcctg a. Toliau pateikiamas lanko kotangento apibrėžimas: lanko kotangentas a yra skaičius iš intervalo nuo 0 iki π, kurio kotangentas yra lygus a. Lygties сtg x = a sprendinys rašomas taip: x = arcctg a + πk.
Vaizdo pamokos pabaigoje daroma dar viena svarbi išvada - posakis ctg x = a gali būti parašytas kaip tg x = 1/a, jei a nėra lygus nuliui.
TEKSTO IŠKODAVIMAS:
Panagrinėkime lygčių tg x = 3 ir tg x = - 3 sprendimą. Išspręsdami pirmąją lygtį grafiškai, matome, kad funkcijų y = tg x ir y = 3 grafikai turi be galo daug susikirtimo taškų, kurių abscises rašome. formoje
x = x 1 + πk, kur x 1 yra tiesės y = 3 susikirtimo su pagrindine tangentoido atšaka taško abscisė (1 pav.), kuriai buvo sugalvotas žymėjimas
arctan 3 (trijų lanko tangentas).
Kaip suprasti arctg 3?
Tai skaičius, kurio liestinė yra 3 ir šis skaičius priklauso intervalui (- ;). Tada visas lygties tg x = 3 šaknis galima užrašyti formule x = arctan 3+πk.
Panašiai lygties tg x = - 3 sprendinys gali būti parašytas forma x = x 2 + πk, kur x 2 yra tiesės y = - 3 susikirtimo su pagrindine atšaka abscisė. tangentoidinis (1 pav.), kurio žymėjimas arctg(- 3) (lanko liestinė minus trys). Tada visas lygties šaknis galima užrašyti pagal formulę: x = arctan(-3)+ πk. Paveikslėlyje parodyta, kad arctg(- 3)= - arctg 3.
Suformuluokime arctangento apibrėžimą. Arktangentas a yra skaičius iš intervalo (-;), kurio liestinė yra lygi a.
Dažnai naudojama lygybė: arctg(-a) = -arctg a, kuri galioja bet kuriai a.
Žinodami arctangento apibrėžimą, galime padaryti bendrą išvadą apie lygties sprendimą
tg x= a: lygtis tg x = a turi sprendimą x = arctan a + πk.
Pažiūrėkime į pavyzdžius.
PAVYZDYS 1. Apskaičiuokite arctaną.
Sprendimas. Tegu arctg = x, tada tgх = ir xϵ (- ;). Rodyti verčių lentelę Todėl x =, nes tg = ir ϵ (- ;).
Taigi, arctan =.
2 PAVYZDYS. Apskaičiuokite arctaną (-).
Sprendimas. Naudodami lygybę arctg(- a) = - arctg a, rašome:
arctg(-) = - arctg . Tegu - arctg = x, tada - tgх = ir xϵ (- ;). Todėl x =, nes tg = ir ϵ (- ;). Rodyti verčių lentelę
Tai reiškia - arctg=- tgх= - .
3 PAVYZDYS. Išspręskite lygtį tgх = 1.
1. Užrašykite sprendimo formulę: x = arctan 1 + πk.
2. Raskite arktangento reikšmę
kadangi tg = . Rodyti verčių lentelę
Taigi arctan1= .
3. Įdėkite rastą reikšmę į sprendimo formulę:
4 PAVYZDYS. Išspręskite lygtį tgх = - 4,1 (liestinė x lygi minus keturių taškų vienas).
Sprendimas. Parašykime sprendimo formulę: x = arctan (- 4.1) + πk.
Arktangento reikšmės apskaičiuoti negalime, todėl lygties sprendimą paliksime gauta forma.
5 PAVYZDYS. Išspręskite nelygybę tgх 1.
Sprendimas. Išspręsime grafiškai.
- Sukonstruokime liestinę
y = tgх ir tiesi y = 1 (2 pav.). Jie susikerta tokiuose taškuose kaip x = + πk.
2. Pasirinkime x ašies intervalą, kuriame pagrindinė tangentoido šaka yra virš tiesės y = 1, nes pagal sąlygą tgх 1. Tai intervalas (;).
3. Naudojame funkcijos periodiškumą.
Savybė 2. y=tg x yra periodinė funkcija, kurios pagrindinis periodas π.
Atsižvelgdami į funkcijos y = tgх periodiškumą, rašome atsakymą:
(;). Atsakymą galima parašyti kaip dvigubą nelygybę:
Pereikime prie lygties ctg x = a. Pateikiame teigiamos ir neigiamos lygties a sprendinio grafinę iliustraciją (3 pav.).
Funkcijų y = ctg x ir y = a grafikai ir taip pat
y=ctg x ir y=-a
turi be galo daug bendrų taškų, kurių abscisės atrodo taip:
x = x 1 +, kur x 1 yra tiesės y = a susikirtimo su tangentoido pagrindine šaka taško abscisė ir
x 1 = arcctg a;
x = x 2 +, kur x 2 yra tiesės susikirtimo taško abscisė
y = - a su pagrindine tangentoido šaka ir x 2 = arcсtg (- a).
Atkreipkite dėmesį, kad x 2 = π - x 1. Taigi, užrašykime svarbią lygybę:
arcсtg (-а) = π - arcсtg а.
Suformuluokime apibrėžimą: lanko kotangentas a yra skaičius iš intervalo (0;π), kurio kotangentas yra lygus a.
Lygties ctg x = a sprendinys rašomas tokia forma: x = arcctg a + .
Atkreipkite dėmesį, kad lygtis ctg x = a gali būti transformuota į formą
tg x = , išskyrus atvejus, kai a = 0.
Galite užsisakyti išsamų savo problemos sprendimą!!!
Lygybė, turinti nežinomąjį po trigonometrinės funkcijos ženklu („sin x, cos x, tan x“ arba „ctg x“), vadinama trigonometrine lygtimi, todėl toliau nagrinėsime jų formules.
Paprasčiausios lygtys yra „sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a“, kur „x“ yra kampas, kurį reikia rasti, „a“ yra bet koks skaičius. Užrašykime kiekvienos iš jų šaknies formules.
1. Lygtis „sin x=a“.
„|a|>1“ sprendimų nėra.
Kai `|a| \leq 1` turi begalinį sprendinių skaičių.
Šakninė formulė: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Lygtis „cos x=a“.
`|a|>1` – kaip ir sinuso atveju, jis neturi realiųjų skaičių sprendinių.
Kai `|a| \leq 1` turi begalinį sprendinių skaičių.
Šakninė formulė: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Specialūs sinuso ir kosinuso atvejai diagramose. 
3. Lygtis „tg x=a“.
Turi begalinį bet kokių „a“ reikšmių sprendimų skaičių.
Šakninė formulė: „x=arctg a + \pi n, n \in Z“.
4. Lygtis „ctg x=a“.
Taip pat turi begalinį bet kokių „a“ reikšmių sprendimų skaičių.
Šakninė formulė: „x=arcctg a + \pi n, n \in Z“.
Lentelėje pateiktų trigonometrinių lygčių šaknų formulės
Dėl sinuso: 
Dėl kosinuso: 
Tangentui ir kotangentui: 
Formulės, skirtos spręsti lygtis, kuriose yra atvirkštinių trigonometrinių funkcijų:
Trigonometrinių lygčių sprendimo būdai
Bet kurios trigonometrinės lygties sprendimas susideda iš dviejų etapų:
- paverčiant jį paprasčiausiu;
- išspręskite paprasčiausią lygtį, gautą naudodamiesi aukščiau parašytomis šaknies formulėmis ir lentelėmis.
Pažvelkime į pagrindinius sprendimo būdus naudodami pavyzdžius.
Algebrinis metodas.
Šis metodas apima kintamojo pakeitimą ir jo pakeitimą lygybe.
Pavyzdys. Išspręskite lygtį: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0,
pakeiskite: „cos(x+\frac \pi 6)=y“, tada „2y^2-3y+1=0“,
randame šaknis: `y_1=1, y_2=1/2`, iš kurių seka du atvejai:
1. „cos(x+\frac \pi 6)=1“, „x+\frac \pi 6=2\pi n“, „x_1=-\frac \pi 6+2\pi n“.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Atsakymas: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Faktorizavimas.
Pavyzdys. Išspręskite lygtį: `sin x+cos x=1`.
Sprendimas. Perkelkime visus lygybės narius į kairę: `sin x+cos x-1=0`. Naudodami , mes transformuojame ir koeficientuojame kairę pusę:
„sin x – 2sin^2 x/2=0“,
„2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0“,
„2sin x/2 (cos x/2-sin x/2) = 0“,
- „sin x/2 =0“, „x/2 =\pi n“, „x_1=2\pi n“.
- „cos x/2-sin x/2=0“, „tg x/2=1“, „x/2=arctg 1+ \pi n“, „x/2=\pi/4+ \pi n“ , „x_2=\pi/2+ 2\pi n“.
Atsakymas: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Redukcija į homogeninę lygtį
Pirmiausia turite sumažinti šią trigonometrinę lygtį į vieną iš dviejų formų:
"a sin x+b cos x=0" (homogeninė pirmojo laipsnio lygtis) arba "a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0" (homogeninė antrojo laipsnio lygtis).
Tada padalykite abi dalis iš „cos x \ne 0“ – pirmuoju atveju ir iš „cos^2 x \ne 0“ – antruoju. Gauname „tg x“ lygtis: „a tg x+b=0“ ir „a tg^2 x + b tg x +c =0“, kurias reikia išspręsti žinomais metodais.
Pavyzdys. Išspręskite lygtį: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Sprendimas. Parašykime dešinę pusę kaip „1=sin^2 x+cos^2 x“:
„2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` „sin^2 x+cos^2 x“,
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
„sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0“.
Tai yra vienalytė antrojo laipsnio trigonometrinė lygtis, jos kairę ir dešinę puses padaliname iš `cos^2 x \ne 0`, gauname:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0
„tg^2 x+tg x – 2=0“. Įveskime pakaitalą „tg x=t“, todėl gauname „t^2 + t - 2=0“. Šios lygties šaknys yra „t_1=-2“ ir „t_2=1“. Tada:
- „tg x=-2“, „x_1=arctg (-2)+\pi n“, „n \in Z“
- „tg x=1“, „x=arctg 1+\pi n“, „x_2=\pi/4+\pi n“, „n \in Z“.
Atsakymas. „x_1=arctg (-2)+\pi n“, „n \in Z“, „x_2=\pi/4+\pi n“, „n \in Z“.
Perėjimas prie pusės kampo
Pavyzdys. Išspręskite lygtį: "11 sin x - 2 cos x = 10".
Sprendimas. Taikykime dvigubo kampo formules ir gausime: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
„4 tg^2 x/2 – 11 tg x/2 +6=0“.
Taikydami aukščiau aprašytą algebrinį metodą, gauname:
- „tg x/2=2“, „x_1=2 arctg 2+2\pi n“, „n \in Z“,
- „tg x/2=3/4“, „x_2=arctg 3/4+2\pi n“, „n \in Z“.
Atsakymas. „x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z“, „x_2=arctg 3/4+2\pi n“, „n \in Z“.
Pagalbinio kampo įvedimas
Trigonometrinėje lygtyje „a sin x + b cos x =c“, kur a,b,c yra koeficientai, o x yra kintamasis, padalykite abi puses iš „sqrt (a^2+b^2)“:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))".
Kairėje pusėje esantys koeficientai turi sinuso ir kosinuso savybes, ty jų kvadratų suma lygi 1, o moduliai ne didesni kaip 1. Pažymime juos taip: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, tada:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Pažvelkime atidžiau į šį pavyzdį:
Pavyzdys. Išspręskite lygtį: `3 sin x+4 cos x=2`.
Sprendimas. Padalinkite abi lygybės puses iš `sqrt (3^2+4^2)', gausime:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))".
„3/5 sin x+4/5 cos x=2/5“.
Pažymime `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Kadangi `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, imame `\varphi=arcsin 4/5` kaip pagalbinį kampą. Tada rašome savo lygybę tokia forma:
„cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5“.
Taikydami sinuso kampų sumos formulę, rašome savo lygybę tokia forma:
„sin (x+\varphi)=2/5“,
„x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n“, „n \in Z“,
„x=(-1)^n arcsin 2/5-` „arcsin 4/5+ \pi n“, „n \in Z“.
Atsakymas. „x=(-1)^n arcsin 2/5-` „arcsin 4/5+ \pi n“, „n \in Z“.
Trupmeninės racionalios trigonometrinės lygtys
Tai lygybės su trupmenomis, kurių skaitikliuose ir vardikliuose yra trigonometrinių funkcijų.
Pavyzdys. Išspręskite lygtį. „\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x“.
Sprendimas. Padauginkite ir padalinkite dešinę lygybės pusę iš „(1+cos x)“. Rezultate gauname:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` \frac (sin^2 x)(1+cos x)=0
„\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0“.
Atsižvelgiant į tai, kad vardiklis negali būti lygus nuliui, gauname `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z.
Prilyginkime trupmenos skaitiklį nuliui: „sin x-sin^2 x=0“, „sin x(1-sin x)=0“. Tada „sin x=0“ arba „1-sin x=0“.
- „sin x=0“, „x=\pi n“, „n \in Z“.
- „1-sin x=0“, „sin x=-1“, „x=\pi /2+2\pi n, n \in Z“.
Atsižvelgiant į tai, kad ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z, sprendiniai yra `x=2\pi n, n \in Z` ir `x=\pi /2+2\pi n` , „n \in Z“.
Atsakymas. „x=2\pi n“, „n \in Z“, „x=\pi /2+2\pi n“, „n \in Z“.
Trigonometrija, o ypač trigonometrinės lygtys, naudojamos beveik visose geometrijos, fizikos ir inžinerijos srityse. Mokymasis prasideda 10 klasėje, vieningam valstybiniam egzaminui visada yra užduočių, todėl pasistenkite atsiminti visas trigonometrinių lygčių formules – jos jums tikrai pravers!
Tačiau net nereikia jų įsiminti, svarbiausia suprasti esmę ir mokėti ją išvesti. Tai nėra taip sunku, kaip atrodo. Įsitikinkite patys žiūrėdami vaizdo įrašą.