비행기를 생각해 보세요 피 그리고 그 직선과 교차하는 직선은 . 허락하다 ㅏ - 공간의 임의의 지점. 이 점을 지나 직선을 그리자 , 선과 평행 . 허락하다 . 점 점의 투영이라고 함 ㅏ비행기로 피주어진 직선을 따라 평행한 디자인으로 . 비행기 피 , 공간의 점들이 투영되는 평면을 투영면이라고 합니다.

p - 투영면;

- 직접 디자인; ;

; ; ;

직교 디자인병렬 설계의 특별한 경우입니다. 직교 디자인은 디자인 라인이 투영 평면에 수직인 평행 디자인입니다. 직교 디자인은 기술 도면에서 널리 사용되며, 여기서 그림은 수평 및 수직 두 평면의 세 평면에 투영됩니다.

정의: 점의 직교 투영 중비행기로 피기지라고 불렀다 남 1수직 MM 1, 지점에서 떨어졌습니다. 중비행기로 피.

지정: , , .

정의: 도형의 직교 투영 에프비행기로 피그림의 점 집합의 직교 투영인 평면의 모든 점의 집합입니다. 에프비행기로 피.

평행 설계의 특별한 경우인 직교 설계는 동일한 속성을 갖습니다.

p - 투영면;

- 직접 디자인; ;

1) ;

2) , .

1. 평행선의 투영은 평행합니다.

평면도의 투영 영역

정리: 평면 다각형을 특정 평면에 투영한 면적은 투영된 다각형의 면적에 다각형 평면과 투영 평면 사이의 각도의 코사인을 곱한 것과 같습니다.

1단계: 투영된 도형은 삼각형 ABC이며, 그 변 AC는 투영 평면 a(투영 평면 a에 평행)에 있습니다.

주어진:

입증하다:

증거:

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. 세 수직의 정리에 의해;

ВD – 높이; B 1 D – 높이;

5. – 2면각의 선형 각도;

6. ; ; ; ;

2단계: 투영된 도형은 삼각형 ABC이며, 그 변 중 어느 것도 투영 평면 a에 있지 않고 평행하지 않습니다.

주어진:

입증하다:

증거:

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(스테이지 1);

5. ; ; ;

(스테이지 1);

스테이지: 디자인된 도형은 임의의 다각형입니다.

증거:

다각형은 하나의 꼭지점에서 그려진 대각선으로 나누어져 각각의 정리가 참인 유한한 수의 삼각형으로 나뉩니다. 따라서 이 정리는 평면이 투영 평면과 동일한 각도를 형성하는 모든 삼각형의 면적의 합에 대해서도 적용됩니다.

논평: 증명된 정리는 폐곡선으로 둘러싸인 모든 평면 도형에 대해 유효합니다.

수업 과정:

1. 투영면이 a면을 갖는 정삼각형인 경우, 투영면에 대해 각도로 기울어진 평면을 갖는 삼각형의 면적을 구합니다.

2. 투영면이 한 변이 10cm이고 밑변이 12cm인 이등변삼각형인 경우 평면이 투영면에 대해 각도로 기울어진 삼각형의 면적을 구합니다.

3. 투영면이 변의 길이가 9, 10, 17cm인 삼각형인 경우 평면이 투영 평면에 대해 각도로 기울어진 삼각형의 면적을 찾습니다.

4. 사다리꼴의 면적을 계산합니다. 평면은 투영면에 대해 각도로 기울어져 있습니다. 투영이 이등변 사다리꼴인 경우 큰 밑면은 44cm, 측면은 17cm, 대각선은 39cm이다.

5. 한 변이 8cm인 정육각형의 투영 면적을 계산합니다. 이 평면은 투영 평면에 대해 비스듬히 기울어져 있습니다.

6. 한 변이 12cm이고 예각인 마름모는 주어진 평면과 각을 형성합니다. 이 평면에 마름모를 투영한 면적을 계산합니다.

7. 한 변의 길이가 20cm이고 대각선의 길이가 32cm인 마름모는 주어진 평면과 각도를 이룹니다. 이 평면에 마름모를 투영한 면적을 계산합니다.

8. 수평면에 대한 캐노피 투영은 측면과 가 있는 직사각형입니다. 측면이 수평면에 대해 일정한 각도로 기울어진 동일한 직사각형이고 캐노피의 중간 부분이 투영 평면과 평행한 정사각형인 경우 캐노피의 면적을 구합니다.

11. "공간의 선과 평면" 주제에 대한 연습:

삼각형의 변은 20cm, 65cm, 75cm와 같습니다. 삼각형의 더 큰 각도의 꼭지점에서 60cm에 해당하는 수직선이 평면에 그려집니다. 수직선의 끝에서 다음까지의 거리를 구합니다. 삼각형의 더 큰 쪽.

2. 평면에서 cm 거리에 위치한 점에서 두 개의 경사면을 그려 평면과 동일한 각도를 형성하고 그 사이에 직각을 만듭니다. 경사면의 교차점 사이의 거리를 구합니다.

3. 정삼각형의 한 변의 길이는 12cm이며, 점 M을 삼각형의 모든 꼭지점과 연결하는 선분이 평면과 각도를 이루도록 점 M을 선택합니다. 점 M에서 삼각형의 꼭지점과 변까지의 거리를 구합니다.

4. 정사각형의 대각선과 비스듬히 정사각형의 측면을 통과하는 평면이 그려집니다. 정사각형의 두 변이 평면에 대해 기울어진 각도를 찾아보세요.

5. 직각 이등변삼각형의 다리는 빗변을 통과하는 평면 a에 대해 각도 로 기울어져 있습니다. 평면 a와 삼각형 평면 사이의 각도가 와 같음을 증명하십시오.

6. 삼각형 ABC와 DBC의 평면 사이의 2면각은 다음과 같습니다. AB = AC = 5cm, BC = 6cm, BD = DC = cm이면 AD를 구합니다.

"공간의 선과 평면" 주제에 대한 시험 문제

1. 입체 측정의 기본 개념을 나열하십시오. 입체 측정의 공리를 공식화하십시오.

2. 공리의 결과를 증명하십시오.

3. 공간에서 두 선의 상대적인 위치는 무엇입니까? 교차선, 평행선, 기울어진 선에 대한 정의를 제공합니다.

4. 기울어진 선의 부호를 증명합니다.

5. 선과 평면의 상대적인 위치는 무엇입니까? 교차하는 평행선과 평면에 대한 정의를 제공합니다.

6. 선과 평면 사이의 평행성의 부호를 증명하십시오.

7. 두 평면의 상대적인 위치는 무엇입니까?

8. 평행 평면을 정의합니다. 두 평면이 평행하다는 신호를 증명하십시오. 평행 평면에 관한 상태 정리.

9. 직선 사이의 각도를 정의합니다.

10. 선과 평면의 수직성의 부호를 증명하라.

11. 수직의 밑면, 경사면의 밑면, 평면에 대한 경사면의 투영을 정의합니다. 한 지점에서 평면에 떨어뜨린 수직선과 경사선의 속성을 공식화합니다.

12. 직선과 평면 사이의 각도를 정의합니다.

13. 세 개의 수직선에 대한 정리를 증명하십시오.

14. 2면각, 2면각의 선형각의 정의를 제시하시오.

15. 두 평면의 수직성의 부호를 증명하십시오.

16. 서로 다른 두 지점 사이의 거리를 정의합니다.

17. 점에서 선까지의 거리를 정의합니다.

18. 점에서 평면까지의 거리를 정의합니다.

19. 직선과 이에 평행한 평면 사이의 거리를 정의합니다.

20. 평행 평면 사이의 거리를 정의합니다.

21. 교차하는 선 사이의 거리를 정의합니다.

22. 평면에 대한 점의 직교 투영을 정의합니다.

23. 평면에 대한 그림의 직교 투영을 정의합니다.

24. 평면에 대한 투영의 속성을 공식화합니다.

25. 평면 다각형의 투영 영역에 대한 정리를 공식화하고 증명합니다.

기하학 문제에서 성공은 이론에 대한 지식뿐만 아니라 고품질의 그림에 달려 있습니다.
평면 도면을 사용하면 모든 것이 다소 명확해집니다. 그러나 입체 측정에서는 상황이 더 복잡합니다. 결국, 묘사하는 것이 필요하다 입체적인몸에 평평한그리고 당신 자신과 당신의 그림을 보는 사람 모두가 동일한 체적 몸체를 볼 수 있도록 합니다.

어떻게 하나요?
물론 평면의 체적 몸체 이미지는 조건부입니다. 그러나 특정 규칙이 있습니다. 도면을 구성하는 데 일반적으로 허용되는 방법이 있습니다. 평행 투영.

체적 몸체를 살펴 보겠습니다.
선택하자 투영면.
체적 몸체의 각 지점을 통해 서로 평행하고 어떤 각도에서든 투영 평면과 교차하는 직선을 그립니다. 이러한 각 선은 어떤 지점에서 투영 평면과 교차합니다. 그리고 모두 합쳐서 이러한 점이 형성됩니다. 투사체적 몸체를 평면에 배치하는 것, 즉 평면적인 이미지입니다.

체적 몸체의 투영을 구성하는 방법은 무엇입니까?
프리즘, 피라미드 또는 원통형 체적 몸체의 프레임이 있다고 상상해보십시오. 평행한 광선으로 조명하면 벽이나 화면의 그림자와 같은 이미지를 얻을 수 있습니다. 다른 각도에서 다른 이미지를 얻을 수 있지만 일부 패턴은 여전히 ​​존재합니다.

세그먼트의 투영은 세그먼트가 됩니다.

물론 세그먼트가 투영 평면에 수직인 경우 한 지점에 표시됩니다.

일반적인 경우 원의 투영은 타원이 됩니다.

직사각형의 투영은 평행사변형입니다.

평면에 큐브를 투영하면 다음과 같습니다.

여기서 앞면과 뒷면은 투영 평면과 평행합니다.

다르게 할 수 있습니다:

어떤 각도를 선택하든, 도면에 있는 평행 세그먼트의 투영도 평행 세그먼트가 됩니다.. 이것이 평행 투영의 원리 중 하나입니다.

우리는 피라미드의 투영을 그립니다.

실린더:

평행 투영의 기본 원리를 다시 한 번 반복해 보겠습니다. 투영 평면을 선택하고 체적 몸체의 각 점을 통해 서로 평행한 직선을 그립니다. 이 선은 어떤 각도에서든 투영 평면과 교차합니다. 이 각도가 90°라면 직사각형 투영. 직사각형 투영을 사용하여 기술의 체적 부품 도면이 구성됩니다. 이번에는 평면도, 정면도, 측면도를 살펴보겠습니다.

제4장. 우주의 직선과 평면. 다면체

§ 55. 다각형의 투영 영역.

선과 평면 사이의 각도는 주어진 선과 평면에 대한 투영 사이의 각도라는 것을 기억해 봅시다(그림 164).

정리. 평면에 대한 다각형의 직교 투영 영역은 투영된 다각형의 영역에 다각형 평면과 투영 평면이 이루는 각도의 코사인을 곱한 것과 같습니다.

각 다각형은 면적의 합이 다각형의 면적과 같은 삼각형으로 나눌 수 있습니다. 따라서 삼각형의 정리를 증명하는 것으로 충분합니다.

허락하다 /\ ABC가 평면에 투영됩니다. 아르 자형. 두 가지 경우를 고려해 보겠습니다.
a) 당사자 중 하나 /\ ABC는 평면과 평행하다 아르 자형;
b) 양측 모두 /\ ABC는 병렬이 아니다 아르 자형.

고려해 봅시다 첫 번째 경우: [AB]를 보자 || 아르 자형.

(AB)를 지나는 평면을 그려보자 아르 자형 1 || 아르 자형직각으로 디자인하고 /\ ABC 켜짐 아르 자형 1 이상 아르 자형(그림 165); 우리는 얻는다 /\ ABC 1 및 /\ 알파벳".
우리가 가지고 있는 투영 속성에 의해 /\ ABC 1 /\ A"B"C"이므로

에스 /\ ABC1=S /\ 알파벳"

_|_와 세그먼트 D 1 C 1 을 그려보겠습니다. 그러면 _|_, a = ψ는 평면 사이의 각도 값입니다. /\ ABC와 비행기 아르 자형 1 . 그렇기 때문에

에스 /\ ABC1 = 1/2 | AB | | C1D1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos Φ = S /\ ABC 코사인 ψ

그러므로 S /\ A"B"C" = S /\ ABC cos ψ.

계속해서 고려해 봅시다 두 번째 경우. 비행기를 그려보자 아르 자형 1 || 아르 자형그 꼭대기 위에 /\ ABC, 비행기까지의 거리 아르 자형가장 작습니다(정점 A라고 가정).
디자인하자 /\ 비행기에서의 ABC 아르 자형 1과 아르 자형(그림 166); 그 예측을 각각 다음과 같이 해보자. /\ AB 1 C 1 및 /\ 알파벳".

하자 (태양) 피 1 = D. 그런 다음

에스 /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (에스 /\ ADC-S /\ ADB) cos Φ = S /\ ABC 코사인 ψ

일.평면은 정삼각형 프리즘의 밑면을 통해 밑면에 대해 ψ = 30° 각도로 그려집니다. 프리즘 밑면의 측면이 결과 단면적을 찾으십시오. ㅏ= 6cm.

이 프리즘의 단면을 묘사해 보겠습니다(그림 167). 프리즘은 규칙적이므로 측면 모서리가 밑면에 수직입니다. 수단, /\ ABC는 투영이다 /\ 따라서 ADC

기하학
10학년 수업 계획

제 56과

주제. 다각형의 직교 투영 영역

수업의 목적: 다각형의 직교 투영 영역에 대한 정리를 연구하고, 배운 정리를 문제 해결에 적용하는 학생들의 기술을 개발합니다.

장비: 입체 세트, 큐브 모델.

수업 중에는

I. 숙제 확인하기

1. 두 명의 학생이 42번, 45번 문제의 답을 칠판에 재현합니다.

2. 정면 질문.

1) 교차하는 두 평면 사이의 각도를 정의합니다.

2) 다음 사이의 각도는 얼마입니까?

a) 평행면

b) 수직면?

3) 두 평면 사이의 각도는 어떤 한계 내에서 변경될 수 있습니까?

4) 평행 평면과 교차하는 평면은 동일한 각도로 교차한다는 것이 사실입니까?

5) 수직인 평면과 교차하는 평면은 동일한 각도로 교차한다는 것이 사실입니까?

3. 학생들이 칠판에 재현한 42번, 45번 문제에 대한 답이 올바른지 확인합니다.

II. 신소재에 대한 인식과 인식

학생을 위한 과제

1. 한쪽이 투영 평면에 있는 삼각형의 투영 면적은 해당 면적과 다각형 평면과 투영 평면 사이의 각도의 코사인의 곱과 동일함을 증명합니다.

2. 격자삼각형의 한 변이 투영면과 평행한 경우에 대한 정리를 증명하십시오.

3. 격자삼각형의 어떤 변도 투영면과 평행하지 않은 경우에 대한 정리를 증명하십시오.

4. 임의의 다각형에 대한 정리를 증명하십시오.

문제 해결

1. 면적이 50 cm2이고 다각형 평면과 투영 사이의 각도가 60°인 다각형의 직교 투영 면적을 구합니다.

2. 이 다각형의 직교 투영 면적이 50 cm2이고 다각형 평면과 투영 사이의 각도가 45°인 경우 다각형의 면적을 구합니다.

3. 다각형의 면적은 64cm2이고, 직교 투영의 면적은 32cm2입니다. 다각형의 평면과 투영 사이의 각도를 찾으십시오.

4. 아니면 다각형의 직교 투영 면적이 이 다각형의 면적과 같을까요?

5. 큐브의 모서리는 a와 같습니다. 이 밑면에 대해 30° 각도로 밑면의 상단을 통과하고 모든 측면 모서리를 교차하는 평면으로 입방체의 단면적을 구합니다. (답변. )

6. 교과서(p. 58) 문제 48번 (1, 3).

7. 교과서(p. 58) 문제 49번 (2)입니다.

8. 직사각형의 변의 크기는 20cm와 25cm이며 평면에 투영하는 방법도 비슷합니다. 투영의 둘레를 찾으십시오. (답: 72cm 또는 90cm.)

III. 숙제

§4, 34항; 시험 문제 번호 17; 문제 번호 48 (2), 49 (1) (p. 58).

IV. 수업 요약

수업에 대한 질문

1) 다각형의 직교 투영 면적에 대한 정리를 설명하십시오.

2) 다각형의 직교 투영 면적이 다각형 면적보다 클 수 있습니까?

3) 직각 삼각형 ABC의 빗변 AB를 통해 평면 α가 삼각형 평면에 대해 45° 각도로 그려지고 평면 α에 수직인 CO가 그려집니다. AC = 3cm, BC = 4cm 다음 설명 중 맞는 것과 틀린 것을 표시하세요.

a) 평면 ABC와 α 사이의 각도는 각도 SMO와 같습니다. 여기서 점 H는 삼각형 ABC의 높이 CM의 밑변입니다.

b) CO = 2.4cm;

c) 삼각형 AOC는 삼각형 ABC를 평면 α에 직교 투영한 것입니다.

d) 삼각형 AOB의 면적은 3cm2입니다.

(답: a) 맞습니다. b) 틀렸다. c) 부정확하다; d) 맞습니다.)

다각형 직교 투영 정리의 상세한 증명

만약 평면 투영이라면 N -평면으로 이동하면 다각형 평면 사이의 각도는 어디입니까? 즉, 평면 다각형의 투영 면적은 투영된 다각형의 면적과 투영 평면과 투영된 다각형의 평면 사이의 각도의 코사인을 곱한 것과 같습니다.

증거. 나 단계. 먼저 삼각형에 대한 증명을 수행해 보겠습니다. 5가지 경우를 생각해 보자.

1건. 투영면에 누워 .

각각 평면에 점을 투영한다고 가정합니다. 우리의 경우. 가정해보자. 높이를 높이라고 하면 세 수직의 정리에 따라 높이(- 경사면의 투영, - 밑면과 직선이 경사면의 밑면을 통과함)라는 결론을 내릴 수 있습니다.

고려해 봅시다. 직사각형이에요. 코사인의 정의에 따르면:

반면에, 이후 및 다음은 정의에 따라 평면의 절반 평면과 경계 직선에 의해 형성된 2면각의 선형 각도이므로 그 측정값은 두 평면 사이의 각도 측정값이기도 합니다. 즉, 삼각형의 투영 평면과 삼각형 자체입니다.

면적의 비율을 찾아 보겠습니다.

이 경우에도 공식은 그대로 유지됩니다. 이 경우

사례 2. 투영 평면에만 놓여 있으며 투영 평면과 평행합니다. .

각각 평면에 점을 투영한다고 가정합니다. 우리의 경우.

점을 지나는 직선을 그려봅시다. 우리의 경우 직선은 투영 평면과 교차합니다. 즉, 정리에 따르면 직선도 투영 평면과 교차합니다. 이것이 점에 있다고 가정합니다. 이후 점은 동일한 평면에 있고 투영 평면과 평행하기 때문에 선과 평면의 평행 기호의 결과로 다음과 같습니다. 그러므로 평행사변형이다. 그리고 생각해 봅시다. 세 변이 동일합니다(공통 변은 평행사변형의 반대 변과 같습니다). 사변형은 직사각형이고 (다리와 빗변을 따라) 동일하므로 세 변이 동일합니다. 그렇기 때문에.

해당 사례 1의 경우: , 즉

사례 3. 투영 평면에만 놓이고 투영 평면과 평행하지 않습니다. .

점을 투영 평면과 선의 교차점으로 둡니다. 그리고. 1개의 경우: i. 따라서 우리는 그것을 얻습니다

사례 4 정점이 투영 평면에 있지 않습니다. . 수직선을 살펴보겠습니다. 이 수직선 중 가장 작은 것을 선택하겠습니다. 수직이 되도록 하세요. 그것은 단지 또는 유일한 것으로 판명될 수 있습니다. 그럼 어쨌든 가져가겠습니다.

세그먼트의 한 점에서 한 점을 따로 설정하여 세그먼트의 한 점에서 한 점을 설정해 보겠습니다. 이 구성은 수직 중 가장 작기 때문에 가능합니다. 참고로 이는 건설에 의한 투영입니다. 그것을 증명하고 동등하다고 하자.

사각형을 생각해 보세요. 조건에 따라 - 하나의 평면에 수직이므로 정리에 따라. 구성에 따라 평행사변형의 특성(평행하고 반대쪽이 동일한 경우)을 기반으로 평행사변형이라는 결론을 내릴 수 있습니다. 수단, . 마찬가지로, . 그러므로 과 는 세 면이 동일합니다. 그렇기 때문에. 따라서 평행사변형의 반대쪽 변인 과 는 평면의 평행성에 기초합니다. 이러한 평면은 평행하므로 투영 평면과 동일한 각도를 형성합니다.

이전 사례가 적용됩니다.

사례 5 투영 평면이 측면과 교차합니다. . 직선을 살펴보자. 투영 평면에 수직이므로 정리에 따르면 평행합니다. 점을 원점으로 하는 동일 방향 광선에서는 정점이 투영 평면 외부에 놓이도록 각각 동일한 세그먼트를 플롯합니다. 참고로 이는 건설에 의한 투영입니다. 같다는 것을 보여드리겠습니다.

그 이후로 건설에 의해. 그러므로 평행사변형(두 개의 동일하고 평행한 변)의 특성에 따르면 평행사변형입니다. 와 는 평행사변형과 비슷한 방식으로 증명됩니다. 그러나 그러면 과(대변)은 따라서 세 변이 동일합니다. 수단, .

또한 평면의 평행성을 기반으로 합니다. 이러한 평면은 평행하므로 투영 평면과 동일한 각도를 형성합니다.

해당 사례 4의 경우:.

II 단계. 꼭지점에서 그린 대각선을 사용하여 평평한 다각형을 삼각형으로 나누어 보겠습니다. 그런 다음 삼각형에 대한 이전 사례에 따라: .

Q.E.D.