Tg 1-Gleichung. Arkustangens und Arkuskotangens. Lösen der Gleichungen tgx = a, ctgx = a - Wissens-Hypermarkt. Eigenschaften von Tangens und Kotangens

In dieser Lektion werden wir uns weiterhin mit dem Arkustangens befassen und Gleichungen der Form tg x = a für jedes a lösen. Zu Beginn der Lektion lösen wir eine Gleichung mit einem Tabellenwert und veranschaulichen die Lösung in einem Diagramm und anschließend in einem Kreis. Als nächstes lösen wir die Gleichung tgx = a in allgemeiner Form und leiten die allgemeine Formel für die Antwort ab. Lassen Sie uns die Berechnungen anhand einer Grafik und eines Kreises veranschaulichen und die verschiedenen Formen der Antwort betrachten. Am Ende der Lektion werden wir mehrere Probleme mit Lösungen lösen, die in einer Grafik und einem Kreis dargestellt sind.

Thema: Trigonometrische Gleichungen

Lektion: Arcustangens und Lösung der Gleichung tgx=a (Fortsetzung)

1. Unterrichtsthema, Einführung

In dieser Lektion werden wir uns mit der Lösung der Gleichung für jeden reellen Wert befassen

2. Lösung der Gleichung tgx=√3

Aufgabe 1. Lösen Sie die Gleichung

Lassen Sie uns die Lösung mithilfe von Funktionsgraphen finden (Abb. 1).

Betrachten wir das Intervall. In diesem Intervall ist die Funktion monoton, was bedeutet, dass sie nur für einen Wert der Funktion erreicht wird.

Antwort:

Lösen wir dieselbe Gleichung mit dem Zahlenkreis (Abb. 2).

Antwort:

3. Lösung der Gleichung tgx=a in allgemeiner Form

Lösen wir die Gleichung in allgemeiner Form (Abb. 3).

Auf dem Intervall hat die Gleichung eine eindeutige Lösung

Am wenigsten positiver Zeitraum

Lassen Sie uns dies am Zahlenkreis veranschaulichen (Abb. 4).

4. Problemlösung

Aufgabe 2. Lösen Sie die Gleichung

Lassen Sie uns die Variable ändern

Problem 3. Lösen Sie das System:

Lösung (Abb. 5):

An einem Punkt ist der Wert also die Lösung für das System nur der Punkt

Antwort:

Aufgabe 4. Lösen Sie die Gleichung

Lassen Sie uns mit der Variablenänderungsmethode lösen:

Aufgabe 5. Finden Sie die Anzahl der Lösungen der Gleichung im Intervall

Lösen wir das Problem anhand eines Diagramms (Abb. 6).

Die Gleichung hat drei Lösungen in einem bestimmten Intervall.

Lassen Sie es uns anhand eines Zahlenkreises veranschaulichen (Abb. 7), obwohl es nicht so klar ist wie in der Grafik.

Antwort: Drei Lösungen.

5. Fazit, Fazit

Wir haben die Gleichung für jeden reellen Wert mithilfe des Konzepts des Arkustangens gelöst. In der nächsten Lektion stellen wir das Konzept des Arcus-Tangens vor.

Referenzliste

1. Algebra und Beginn der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Lehrbuch für allgemeinbildende Einrichtungen (Profilniveau), hrsg. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra und Beginn der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Problembuch für Bildungseinrichtungen (Profilebene), hrsg. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov O. S., Shvartsburd S. I. Algebra und mathematische Analyse für die 10. Klasse (ein Lehrbuch für Schüler von Schulen und Klassen mit vertieftem Mathematikstudium).

4. Galitsky M. L., Moshkovich M. M., Shvartsburd S. I. Eingehende Untersuchung der Algebra und mathematischen Analyse - M.: Prosveshchenie, 1997.

5. Sammlung von Problemen in der Mathematik für Bewerber an höheren Bildungseinrichtungen (herausgegeben von M. I. Skanavi - M.: Higher School, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraischer Simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. Probleme in der Algebra und Prinzipien der Analyse (ein Handbuch für Schüler der Klassen 10-11 allgemeinbildender Einrichtungen).

8. Karp A.P. Sammlung von Problemen zur Algebra und Prinzipien der Analyse: Lehrbuch. Zulage für die Klassen 10-11. mit Tiefgang studiert Mathematik.-M.: Bildung, 2006.

Hausaufgaben

Algebra und Beginn der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Problembuch für Bildungseinrichtungen (Profilebene), hrsg. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 22.18, 22.21.

Zusätzliche Webressourcen

1. Mathematik.

2. Probleme mit dem Internetportal. ru.

3. Bildungsportal zur Prüfungsvorbereitung.

Zentriert am Punkt A.
α ist der im Bogenmaß ausgedrückte Winkel.

Tangente ( tan α) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt und dem Verhältnis der Länge des gegenüberliegenden Schenkels |BC| entspricht zur Länge des benachbarten Beins |AB| .

Kotangens ( ctg α) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt und dem Verhältnis der Länge des angrenzenden Schenkels |AB| entspricht zur Länge des gegenüberliegenden Beins |BC| .

Tangente

Wo N- ganz.

In der westlichen Literatur wird Tangens wie folgt bezeichnet:
.
;
;
.

Graph der Tangensfunktion, y = tan x

Kotangens

Wo N- ganz.

In der westlichen Literatur wird Kotangens wie folgt bezeichnet:
.
Folgende Notationen werden ebenfalls akzeptiert:
;
;
.

Diagramm der Kotangensfunktion, y = ctg x

Eigenschaften von Tangens und Kotangens

Periodizität

Funktionen y = tg x und y = ctg x sind periodisch mit der Periode π.

Parität

Die Tangens- und Kotangensfunktionen sind ungerade.

Definitions- und Wertebereiche, zunehmend, abnehmend

Die Tangens- und Kotangensfunktionen sind in ihrem Definitionsbereich stetig (siehe Kontinuitätsnachweis). Die Haupteigenschaften von Tangens und Kotangens sind in der Tabelle dargestellt ( N- ganz).

	y= tg x	y= ctg x
Umfang und Kontinuität
Wertebereich	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Zunehmend		-
Absteigend	-
Extreme	-	-
Nullen, y = 0
Schnittpunkte mit der Ordinatenachse, x = 0	y= 0	-

Formeln

Ausdrücke mit Sinus und Cosinus

; ;
; ;
;

Formeln für Tangens und Kotangens aus Summe und Differenz

Die restlichen Formeln sind beispielsweise leicht zu erhalten

Produkt von Tangenten

Formel für Summe und Differenz von Tangenten

Diese Tabelle präsentiert die Werte von Tangenten und Kotangenten für bestimmte Werte des Arguments.

Ausdrücke mit komplexen Zahlen

Ausdrücke durch hyperbolische Funktionen

;
;

Derivate

; .

.
Ableitung n-ter Ordnung nach der Variablen x der Funktion:
.
Formeln für Tangenten ableiten > > > ; für Kotangens > > >

Integrale

Serienerweiterungen

Um die Entwicklung des Tangens in Potenzen von x zu erhalten, müssen Sie mehrere Terme der Entwicklung in einer Potenzreihe für die Funktionen verwenden Sünde x Und weil x und dividiere diese Polynome durcheinander, . Dadurch ergeben sich die folgenden Formeln.

Bei .

bei .
Wo Mrd- Bernoulli-Zahlen. Sie werden entweder aus der Wiederholungsrelation bestimmt:
;
;
Wo .
Oder nach Laplaces Formel:

Umkehrfunktionen

Die Umkehrfunktionen von Tangens und Kotangens sind Arkustangens bzw. Arkuskotangens.

Arcustangens, arctg

, Wo N- ganz.

Arkuskotangens, arcctg

, Wo N- ganz.

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten, „Lan“, 2009.
G. Korn, Handbook of Mathematics for Scientists and Engineers, 2012.

Zu Beginn des Programms erhielten die Studierenden einen Einblick in die Lösung trigonometrischer Gleichungen, machten sich mit den Konzepten Arcuscosinus und Arcussinus sowie Beispielen für Lösungen der Gleichungen cos t = a und sin t = a vertraut. In diesem Video-Tutorial werden wir uns mit der Lösung der Gleichungen tg x = a und ctg x = a befassen.

Um mit dem Studium dieses Themas zu beginnen, betrachten wir die Gleichungen tg x = 3 und tg x = - 3. Wenn wir die Gleichung tg x = 3 mithilfe eines Graphen lösen, werden wir sehen, dass der Schnittpunkt der Graphen der Funktionen y = tg x und y = 3 hat unendlich viele Lösungen, wobei x = x 1 + πk. Der Wert x 1 ist die x-Koordinate des Schnittpunkts der Graphen der Funktionen y = tan x und y = 3. Der Autor führt das Konzept des Arcustangens ein: arctan 3 ist eine Zahl, deren tan gleich 3 ist, und diese Zahl gehört zum Intervall von -π/2 bis π/2. Unter Verwendung des Konzepts des Arkustangens kann die Lösung der Gleichung tan x = 3 als x = arctan 3 + πk geschrieben werden.

Analog wird die Gleichung tg x = - 3 gelöst. Aus den konstruierten Graphen der Funktionen y = tg x und y = - 3 geht hervor, dass die Schnittpunkte der Graphen und damit die Lösungen der Gleichungen gelöst werden sei x = x 2 + πk. Unter Verwendung des Arkustangens kann die Lösung als x = arctan (- 3) + πk geschrieben werden. In der nächsten Abbildung sehen wir, dass arctg (- 3) = - arctg 3.

Die allgemeine Definition des Arkustangens lautet wie folgt: Der Arkustangens a ist eine Zahl aus dem Intervall von -π/2 bis π/2, deren Tangens gleich a ist. Dann ist die Lösung der Gleichung tan x = a x = arctan a + πk.

Der Autor gibt Beispiel 1. Finden Sie eine Lösung für den Ausdruck arctg. Führen wir die Notation ein: Der Arcustangens einer Zahl ist gleich x, dann ist tg x gleich der gegebenen Zahl, wobei x zum Segment von -π gehört /2 bis π/2. Wie in den Beispielen in den vorherigen Themen verwenden wir eine Wertetabelle. Nach dieser Tabelle entspricht der Tangens dieser Zahl dem Wert x = π/3. Schreiben wir die Lösung der Gleichung auf: Der Arkustangens einer gegebenen Zahl ist gleich π/3, π/3 gehört auch zum Intervall von -π/2 bis π/2.

Beispiel 2 – Berechnen Sie den Arkustangens einer negativen Zahl. Mit der Gleichung arctg (- a) = - arctg a geben wir den Wert von x ein. Ähnlich wie in Beispiel 2 schreiben wir den Wert von x auf, der zum Segment von -π/2 bis π/2 gehört. Aus der Wertetabelle finden wir, dass x = π/3, also -- tg x = - π/3. Die Antwort auf die Gleichung lautet - π/3.

Betrachten wir Beispiel 3. Lösen Sie die Gleichung tg x = 1. Schreiben Sie, dass x = arctan 1 + πk. In der Tabelle entspricht der Wert tg 1 dem Wert x = π/4, also arctg 1 = π/4. Setzen wir diesen Wert in die ursprüngliche Formel x ein und schreiben wir die Antwort x = π/4 + πk.

Beispiel 4: Berechnen Sie tan x = - 4,1. In diesem Fall ist x = arctan (- 4,1) + πk. Weil In diesem Fall ist es nicht möglich, den Wert von arctg zu ermitteln; die Antwort sieht wie folgt aus: x = arctg (- 4,1) + πk.

In Beispiel 5 wird die Lösung der Ungleichung tg x > 1 betrachtet. Um sie zu lösen, erstellen wir Graphen der Funktionen y = tan x und y = 1. Wie in der Abbildung zu sehen ist, schneiden sich diese Graphen in den Punkten x = π/4 + πk. Weil in diesem Fall tg x > 1, markieren wir im Diagramm den Tangentenbereich, der sich über dem Diagramm y = 1 befindet, wobei x zum Intervall von π/4 bis π/2 gehört. Wir schreiben die Antwort als π/4 + πk< x < π/2 + πk.

Betrachten Sie als nächstes die Gleichung cot x = a. Die Abbildung zeigt Graphen der Funktionen y = cot x, y = a, y = - a, die viele Schnittpunkte haben. Die Lösungen können als x = x 1 + πk geschrieben werden, wobei x 1 = arcctg a und x = x 2 + πk, wobei x 2 = arcctg (- a). Es ist zu beachten, dass x 2 = π – x 1 . Dies impliziert die Gleichheit arcctg (- a) = π - arcctg a. Das Folgende ist die Definition des Arcuskotangens: Arcuskotangens a ist eine Zahl aus dem Intervall von 0 bis π, deren Kotangens gleich a ist. Die Lösung der Gleichung сtg x = a wird wie folgt geschrieben: x = arcctg a + πk.

Am Ende der Videolektion wird eine weitere wichtige Schlussfolgerung gezogen: Der Ausdruck ctg x = a kann als tg x = 1/a geschrieben werden, vorausgesetzt, a ist nicht gleich Null.

TEXTDEKODIERUNG:

Betrachten wir die Lösung der Gleichungen tg x = 3 und tg x = - 3. Wenn wir die erste Gleichung grafisch lösen, sehen wir, dass die Graphen der Funktionen y = tg x und y = 3 unendlich viele Schnittpunkte haben, deren Abszissen wir schreiben in der Form

x = x 1 + πk, wobei x 1 die Abszisse des Schnittpunkts der Geraden y = 3 mit dem Hauptast des Tangentoiden (Abb. 1) ist, für den die Bezeichnung erfunden wurde

arctan 3 (Arkustangens von drei).

Wie ist Arctg 3 zu verstehen?

Dies ist eine Zahl, deren Tangens 3 ist und die zum Intervall (- ;) gehört. Dann können alle Wurzeln der Gleichung tg x = 3 durch die Formel x = arctan 3+πk geschrieben werden.

Ebenso kann die Lösung der Gleichung tg x = - 3 in der Form x = x 2 + πk geschrieben werden, wobei x 2 die Abszisse des Schnittpunkts der Geraden y = - 3 mit dem Hauptzweig des ist Tangentoid (Abb. 1), für den die Bezeichnung arctg(- 3) (Arkustangens minus drei) verwendet wird. Dann können alle Wurzeln der Gleichung durch die Formel geschrieben werden: x = arctan(-3)+ πk. Die Abbildung zeigt, dass arctg(- 3)= - arctg 3.

Lassen Sie uns die Definition des Arkustangens formulieren. Der Arkustangens a ist eine Zahl aus dem Intervall (-;), deren Tangens gleich a ist.

Häufig wird die Gleichung arctg(-a) = -arctg a verwendet, die für jedes a gilt.

Wenn wir die Definition des Arkustangens kennen, können wir eine allgemeine Schlussfolgerung über die Lösung der Gleichung ziehen

tg x= a: Die Gleichung tg x = a hat eine Lösung x = arctan a + πk.

Schauen wir uns Beispiele an.

BEISPIEL 1. Berechnen Sie Arctan.

Lösung. Sei arctg = x, dann tgх = und xϵ (- ;). Wertetabelle anzeigen Daher ist x =, da tg = und ϵ (- ;).

Also, arctan =.

BEISPIEL 2. Berechnen Sie Arctan (-).

Lösung. Unter Verwendung der Gleichung arctg(- a) = - arctg a schreiben wir:

arctg(-) = - arctg . Sei - arctg = x, dann - tgх = und xϵ (- ;). Daher ist x =, da tg = und ϵ (- ;). Wertetabelle anzeigen

Das bedeutet - arctg=- tgх= - .

BEISPIEL 3. Lösen Sie die Gleichung tgх = 1.

1. Schreiben Sie die Lösungsformel auf: x = arctan 1 + πk.

2. Ermitteln Sie den Wert des Arkustangens

da tg = . Wertetabelle anzeigen

Also arctan1= .

3. Tragen Sie den gefundenen Wert in die Lösungsformel ein:

BEISPIEL 4. Lösen Sie die Gleichung tgх = - 4,1 (Tangente x ist gleich minus vier Komma eins).

Lösung. Schreiben wir die Lösungsformel: x = arctan (- 4,1) + πk.

Da wir den Wert des Arkustangens nicht berechnen können, belassen wir die Lösung der Gleichung in ihrer erhaltenen Form.

BEISPIEL 5. Lösen Sie die Ungleichung tgх 1.

Lösung. Wir werden es grafisch lösen.

Konstruieren wir eine Tangente

y = tgх und gerade Linie y = 1 (Abb. 2). Sie schneiden sich in Punkten wie x = + πk.

2. Wählen wir das Intervall der x-Achse, in dem sich der Hauptast des Tangentoids über der Geraden y = 1 befindet, da nach Bedingung tgх 1. Dies ist das Intervall (;).

3. Wir nutzen die Periodizität der Funktion.

Eigenschaft 2. y=tg x ist eine periodische Funktion mit der Hauptperiode π.

Unter Berücksichtigung der Periodizität der Funktion y = tgх schreiben wir die Antwort:

(;). Die Antwort kann als doppelte Ungleichung geschrieben werden:

Kommen wir zur Gleichung ctg x = a. Lassen Sie uns eine grafische Darstellung der Lösung der Gleichung für positives und negatives a präsentieren (Abb. 3).

Graphen der Funktionen y = ctg x und y = a und auch

y=ctg x und y=-a

haben unendlich viele gemeinsame Punkte, deren Abszissen wie folgt aussehen:

x = x 1 +, wobei x 1 die Abszisse des Schnittpunkts der Geraden y = a mit dem Hauptast des Tangentoids ist und

x 1 = arcctg a;

x = x 2 +, wobei x 2 die Abszisse des Schnittpunktes der Geraden ist

y = - a mit dem Hauptast des Tangentoids und x 2 = arcсtg (- a).

Beachten Sie, dass x 2 = π - x 1. Schreiben wir also eine wichtige Gleichheit auf:

arcсtg (-а) = π - arcсtg а.

Formulieren wir die Definition: Arcuskotangens a ist eine Zahl aus dem Intervall (0;π), deren Kotangens gleich a ist.

Die Lösung der Gleichung ctg x = a wird in der Form geschrieben: x = arcctg a + .

Bitte beachten Sie, dass die Gleichung ctg x = a in die Form umgewandelt werden kann

tg x = , außer wenn a = 0.

Sie können eine detaillierte Lösung Ihres Problems bestellen!!!

Eine Gleichheit, die eine Unbekannte unter dem Vorzeichen einer trigonometrischen Funktion („sin x, cos x, tan x“ oder „ctg x“) enthält, wird als trigonometrische Gleichung bezeichnet, und ihre Formeln werden wir weiter betrachten.

Die einfachsten Gleichungen sind „sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a“, wobei „x“ der zu findende Winkel und „a“ eine beliebige Zahl ist. Schreiben wir die Grundformeln für jede von ihnen auf.

1. Gleichung „sin x=a“.

Für `|a|>1` gibt es keine Lösungen.

Wenn `|a| \leq 1` hat unendlich viele Lösungen.

Wurzelformel: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Gleichung „cos x=a“.

Für „|a|>1“ – wie im Fall des Sinus – gibt es keine Lösungen unter reellen Zahlen.

Wenn `|a| \leq 1` hat unendlich viele Lösungen.

Wurzelformel: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Sonderfälle für Sinus und Cosinus in Diagrammen.

3. Gleichung „tg x=a“.

Hat unendlich viele Lösungen für alle Werte von „a“.

Wurzelformel: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Gleichung „ctg x=a“.

Es gibt auch unendlich viele Lösungen für alle Werte von „a“.

Wurzelformel: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formeln für die Wurzeln trigonometrischer Gleichungen in der Tabelle

Für Sinus:
Für Kosinus:
Für Tangens und Kotangens:
Formeln zum Lösen von Gleichungen mit inversen trigonometrischen Funktionen:

Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen

Das Lösen einer trigonometrischen Gleichung besteht aus zwei Schritten:

mit Hilfe der Umwandlung in das Einfachste;
Lösen Sie die einfachste Gleichung, die Sie mit den oben beschriebenen Wurzelformeln und Tabellen erhalten haben.

Schauen wir uns die wichtigsten Lösungsmethoden anhand von Beispielen an.

Algebraische Methode.

Bei dieser Methode wird eine Variable ersetzt und durch eine Gleichheit ersetzt.

Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: „2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0“.

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

Ersetzen Sie: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, dann `2y^2-3y+1=0`,

Wir finden die Wurzeln: `y_1=1, y_2=1/2`, woraus zwei Fälle folgen:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Antwort: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorisierung.

Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: „sin x+cos x=1“.

Lösung. Verschieben wir alle Terme der Gleichheit nach links: „sin x+cos x-1=0“. Mit transformieren und faktorisieren wir die linke Seite:

„sin x — 2sin^2 x/2=0“,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

`sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Antwort: „x_1=2\pi n“, „x_2=\pi/2+ 2\pi n“.

Reduktion auf eine homogene Gleichung

Zuerst müssen Sie diese trigonometrische Gleichung auf eine von zwei Formen reduzieren:

„a sin x+b cos x=0“ (homogene Gleichung ersten Grades) oder „a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0“ (homogene Gleichung zweiten Grades).

Teilen Sie dann beide Teile durch „cos x \ne 0“ – für den ersten Fall, und durch „cos^2 x \ne 0“ – für den zweiten. Wir erhalten Gleichungen für „tg x“: „a tg x+b=0“ und „a tg^2 x + b tg x +c =0“, die mit bekannten Methoden gelöst werden müssen.

Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: „2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1“.

Lösung. Schreiben wir die rechte Seite als „1=sin^2 x+cos^2 x“:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Dies ist eine homogene trigonometrische Gleichung zweiten Grades, wir teilen ihre linke und rechte Seite durch „cos^2 x \ne 0“, wir erhalten:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Lassen Sie uns den Ersatz „tg x=t“ einführen, was zu „t^2 + t - 2=0“ führt. Die Wurzeln dieser Gleichung sind „t_1=-2“ und „t_2=1“. Dann:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Antwort. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Übergang zum Halbwinkel

Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: „11 sin x – 2 cos x = 10“.

Lösung. Wenden wir die Doppelwinkelformeln an, was zu Folgendem führt: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Unter Anwendung der oben beschriebenen algebraischen Methode erhalten wir:

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Antwort. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Einführung des Hilfswinkels

In der trigonometrischen Gleichung „a sin x + b cos x =c“, wobei a,b,c Koeffizienten sind und x eine Variable ist, dividieren Sie beide Seiten durch „sqrt (a^2+b^2)“:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.

Die Koeffizienten auf der linken Seite haben die Eigenschaften von Sinus und Cosinus, nämlich dass die Summe ihrer Quadrate gleich 1 ist und ihre Module nicht größer als 1 sind. Bezeichnen wir sie wie folgt: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, dann:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Schauen wir uns das folgende Beispiel genauer an:

Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: „3 sin x+4 cos x=2“.

Lösung. Teilen Sie beide Seiten der Gleichheit durch „sqrt (3^2+4^2)“, wir erhalten:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

„3/5 sin x+4/5 cos x=2/5“.

Bezeichnen wir „3/5 = cos \varphi“, „4/5=sin \varphi“. Da „sin \varphi>0“, „cos \varphi>0“ ist, nehmen wir „\varphi=arcsin 4/5“ als Hilfswinkel. Dann schreiben wir unsere Gleichheit in der Form:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Wenn wir die Formel für die Winkelsumme für den Sinus anwenden, schreiben wir unsere Gleichheit in der folgenden Form:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Antwort. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Bruchrationale trigonometrische Gleichungen

Dabei handelt es sich um Gleichungen mit Brüchen, deren Zähler und Nenner trigonometrische Funktionen enthalten.

Beispiel. Löse die Gleichung. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Lösung. Multiplizieren und dividieren Sie die rechte Seite der Gleichheit durch „(1+cos x)“. Als Ergebnis erhalten wir:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Wenn man bedenkt, dass der Nenner nicht gleich Null sein kann, erhalten wir „1+cos x \ne 0“, „cos x \ne -1“, „x \ne \pi+2\pi n, n \in Z“.

Setzen wir den Zähler des Bruchs mit Null gleich: „sin x-sin^2 x=0“, „sin x(1-sin x)=0“. Dann ist „sin x=0“ oder „1-sin x=0“.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Vorausgesetzt, dass „x \ne \pi+2\pi n, n \in Z“, sind die Lösungen „x=2\pi n, n \in Z“ und „x=\pi /2+2\pi n“. , `n \in Z`.

Antwort. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometrie und insbesondere trigonometrische Gleichungen werden in fast allen Bereichen der Geometrie, Physik und Technik verwendet. Das Studium beginnt in der 10. Klasse, es gibt immer Aufgaben für das Einheitliche Staatsexamen, also versuchen Sie, sich alle Formeln der trigonometrischen Gleichungen zu merken – sie werden Ihnen auf jeden Fall nützlich sein!

Sie müssen sie jedoch nicht einmal auswendig lernen, die Hauptsache ist, das Wesentliche zu verstehen und daraus ableiten zu können. Es ist nicht so schwierig, wie es scheint. Überzeugen Sie sich selbst, indem Sie sich das Video ansehen.