Apsvarstykite lėktuvą p ir ją kertanti tiesė . Leisti A - savavališkas erdvės taškas. Per šį tašką nubrėžkime tiesią liniją , lygiagrečiai linijai . Leisti . Taškas vadinama taško projekcija Aį lėktuvą p su lygiagrečiu dizainu išilgai nurodytos tiesios linijos . Lėktuvas p , į kurią projektuojami erdvės taškai, vadinama projekcijos plokštuma.

p - projekcijos plokštuma;

- tiesioginis dizainas; ;

; ; ;

Stačiakampis dizainas yra ypatingas lygiagrečiojo projektavimo atvejis. Stačiakampis dizainas yra lygiagretus dizainas, kuriame projektavimo linija yra statmena projekcijos plokštumai. Stačiakampis dizainas plačiai naudojamas techniniame brėžinyje, kai figūra projektuojama į tris plokštumas – horizontalią ir dvi vertikalias.

Apibrėžimas: Stačiakampė taško projekcija Mį lėktuvą p vadinama baze M 1 statmenai MM 1, nukrito iš taško Mį lėktuvą p.

Paskyrimas: , , .

Apibrėžimas: Stačiakampė figūros projekcija Fį lėktuvą p yra aibė visų plokštumos taškų, kurie yra stačiakampės figūros taškų aibės projekcijos Fį lėktuvą p.

Stačiakampis dizainas, kaip ypatingas lygiagretaus dizaino atvejis, turi tas pačias savybes:

p - projekcijos plokštuma;

- tiesioginis dizainas; ;

1) ;

2) , .

1. Lygiagrečių tiesių projekcijos lygiagrečios.

PLOKIOS FIGŪROS PROJEKTAVIMAS

Teorema: Plokštumos daugiakampio projekcijos į tam tikrą plokštumą plotas yra lygus projektuojamo daugiakampio plotui, padaugintam iš kampo tarp daugiakampio plokštumos ir projekcijos plokštumos kosinuso.

1 etapas: projektuojama figūra yra trikampis ABC, kurio kraštinė AC yra projekcijos plokštumoje a (lygiagreti projekcijos plokštumai a).

Duota:

Įrodyk:

Įrodymas:

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. Trijų statmenų teorema;

ВD – aukštis; B 1 D – aukštis;

5. – dvisienio kampo tiesinis kampas;

6. ; ; ; ;

2 etapas: suprojektuota figūra yra trikampis ABC, kurio nė viena kraštinė nėra projekcinėje plokštumoje a ir nėra jai lygiagreti.

Duota:

Įrodyk:

Įrodymas:

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(1 etapas);

5. ; ; ;

(1 etapas);

Etapas: suprojektuota figūra yra savavališkas daugiakampis.

Įrodymas:

Daugiakampis yra padalintas iš vienos viršūnės nubrėžtų įstrižainių į baigtinį skaičių trikampių, kurių kiekvieno teorema yra teisinga. Todėl teorema taip pat bus teisinga visų trikampių, kurių plokštumos sudaro tą patį kampą su projekcijos plokštuma, plotų sumai.

komentuoti: Įrodyta teorema galioja bet kuriai plokštumai, ribojamai uždaros kreivės.

Pratimai:

1. Raskite plotą trikampio, kurio plokštuma į projekcijos plokštumą pasvirusi kampu , jei jo projekcija yra taisyklingas trikampis, kurio kraštinė yra a.

2. Raskite plotą trikampio, kurio plokštuma pasvirusi į projekcijos plokštumą kampu , jei jo projekcija yra lygiašonis trikampis, kurio kraštinė 10 cm, o pagrindas 12 cm.

3. Raskite plotą trikampio, kurio plokštuma į projekcijos plokštumą pasvirusi kampu , jei jo projekcija yra trikampis, kurio kraštinės yra 9, 10 ir 17 cm.

4. Apskaičiuokite plotą trapecijos, kurios plokštuma pasvirusi į projekcijos plokštumą kampu , jei jos projekcija lygiašonė trapecija, kurios didesnis pagrindas yra 44 cm, kraštinė yra 17 cm, o įstrižainė yra 39 cm.

5. Apskaičiuokite taisyklingo šešiakampio, kurio kraštinė yra 8 cm, projekcijos plotą, kurio plokštuma pasvirusi į projekcijos plokštumą kampu.

6. Rombas, kurio kraštinė yra 12 cm ir smailusis kampas, sudaro kampą su duota plokštuma. Apskaičiuokite rombo projekcijos į šią plokštumą plotą.

7. Rombas, kurio kraštinė yra 20 cm ir įstrižainė 32 cm, sudaro kampą su duota plokštuma. Apskaičiuokite rombo projekcijos į šią plokštumą plotą.

8. Baldakimo projekcija į horizontalią plokštumą yra stačiakampis su kraštinėmis ir . Raskite stogelio plotą, jei šoniniai paviršiai yra lygūs stačiakampiai, pasvirę į horizontalią plokštumą kampu , o vidurinė stogelio dalis yra kvadratas, lygiagretus projekcijos plokštumai.

11. Pratimai tema „Tiesijos ir plokštumos erdvėje“:

Trikampio kraštinės lygios 20 cm, 65 cm, 75 cm Iš didesnio trikampio kampo viršūnės nubrėžtas statmenas, lygus 60 cm. Raskite atstumą nuo statmeno galų didžioji trikampio kraštinė.

2. Iš taško, esančio cm atstumu nuo plokštumos, nubrėžtos dvi pasvirusios, sudarančios kampus su plokštuma, lygia , ir stačiu kampu tarp jų. Raskite atstumą tarp pasvirusių plokštumų susikirtimo taškų.

3. Taisyklingo trikampio kraštinė lygi 12 cm. Taškas M parinktas taip, kad atkarpos, jungiančios tašką M su visomis trikampio viršūnėmis, sudarytų kampus su jo plokštuma. Raskite atstumą nuo taško M iki trikampio viršūnių ir kraštinių.

4. Per kvadrato kraštinę kampu į kvadrato įstrižainę nubrėžta plokštuma. Raskite kampus, kuriais dvi kvadrato kraštinės yra pasvirusios į plokštumą.

5. Lygiašonio stačiojo trikampio kojelė yra pasvirusi į plokštumą a, einančią per hipotenuzą kampu . Įrodykite, kad kampas tarp plokštumos a ir trikampio plokštumos yra lygus .

6. Dvikampis kampas tarp trikampių ABC ir DBC plokštumų lygus . Raskite AD, jei AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.

Testo klausimai tema „Tiesijos ir plokštumos erdvėje“

1. Išvardykite pagrindines stereometrijos sąvokas. Suformuluokite stereometrijos aksiomas.

2. Įrodykite pasekmes iš aksiomų.

3. Kokia santykinė dviejų tiesių padėtis erdvėje? Pateikite susikertančių, lygiagrečių ir pasvirųjų linijų apibrėžimus.

4. Įrodykite pasvirusių linijų ženklą.

5. Kokia yra tiesės ir plokštumos santykinė padėtis? Pateikite susikertančių, lygiagrečių tiesių ir plokštumų apibrėžimus.

6. Įrodykite tiesės ir plokštumos lygiagretumo ženklą.

7. Kokia yra dviejų plokštumų santykinė padėtis?

8. Apibrėžkite lygiagrečias plokštumas. Įrodykite ženklą, kad dvi plokštumos yra lygiagrečios. Būsenos teoremos apie lygiagrečias plokštumas.

9. Apibrėžkite kampą tarp tiesių.

10. Įrodykite tiesės ir plokštumos statmenumo ženklą.

11. Apibrėžkite statmens pagrindą, pasvirimo pagrindą, pasvirojo projekciją į plokštumą. Suformuluokite statmenų ir pasvirusių tiesių, nuleidžiamų į plokštumą iš vieno taško, savybes.

12. Apibrėžkite kampą tarp tiesės ir plokštumos.

13. Įrodykite teoremą apie tris statmenis.

14. Pateikite dvisienio kampo, dvisienio kampo tiesinio kampo apibrėžimus.

15. Įrodykite dviejų plokštumų statmenumo ženklą.

16. Apibrėžkite atstumą tarp dviejų skirtingų taškų.

17. Nurodykite atstumą nuo taško iki tiesės.

18. Apibrėžkite atstumą nuo taško iki plokštumos.

19. Nurodykite atstumą tarp tiesės ir jai lygiagrečios plokštumos.

20. Apibrėžkite atstumą tarp lygiagrečių plokštumų.

21. Nurodykite atstumą tarp susikertančių tiesių.

22. Apibrėžkite taško stačiakampę projekciją į plokštumą.

23. Apibrėžkite figūros stačiakampę projekciją į plokštumą.

24. Suformuluokite projekcijų į plokštumą savybes.

25. Suformuluokite ir įrodykite teoremą apie plokštumos daugiakampio projekcijos plotą.

Geometrijos uždaviniuose sėkmė priklauso ne tik nuo teorijos žinių, bet ir nuo kokybiško piešinio.
Su plokščiais brėžiniais viskas daugiau ar mažiau aišku. Tačiau stereometrijoje situacija yra sudėtingesnė. Juk pavaizduoti reikia trimatis kūnas ant butas piešinį, ir kad ir tu pats, ir tas, kuris žiūri į tavo piešinį, matytum tą patį tūrinį kūną.

Kaip tai padaryti?
Žinoma, bet koks tūrinio kūno vaizdas plokštumoje bus sąlyginis. Tačiau yra tam tikras taisyklių rinkinys. Yra visuotinai priimtas brėžinių sudarymo būdas - lygiagreti projekcija.

Paimkime tūrinį kūną.
Rinksim projekcijos plokštuma.
Per kiekvieną tūrinio kūno tašką brėžiame tiesias linijas, lygiagrečias viena kitai ir kertančias projekcijos plokštumą bet kokiu kampu. Kiekviena iš šių tiesių tam tikru momentu kerta projekcijos plokštumą. Ir visi kartu susidaro šie taškai projekcija tūrinio kūno plokštuma, tai yra jo plokščias vaizdas.

Kaip konstruoti tūrinių kūnų projekcijas?
Įsivaizduokite, kad turite tūrinio korpuso rėmą - prizmę, piramidę ar cilindrą. Apšviesdami jį lygiagrečiu šviesos pluoštu, gauname vaizdą – šešėlį ant sienos arba ekrane. Atminkite, kad skirtingi kampai sukuria skirtingus vaizdus, ​​tačiau kai kurie modeliai vis tiek išlieka:

Segmento projekcija bus atkarpa.

Žinoma, jei atkarpa yra statmena projekcijos plokštumai, ji bus rodoma viename taške.

Bendru atveju apskritimo projekcija bus elipsė.

Stačiakampio projekcija yra lygiagretainis.

Taip atrodo kubo projekcija į plokštumą:

Čia priekinis ir galinis paviršiai yra lygiagrečiai projekcijos plokštumai

Galite tai padaryti kitaip:

Kad ir kokį kampą pasirinktume, lygiagrečių atkarpų projekcijos brėžinyje taip pat bus lygiagrečios atkarpos. Tai vienas iš lygiagrečios projekcijos principų.

Nubrėžiame piramidės projekcijas,

cilindras:

Dar kartą pakartokime pagrindinį lygiagrečios projekcijos principą. Parenkame projekcijos plokštumą ir per kiekvieną tūrinio kūno tašką nubrėžiame lygiagrečias viena kitai tieses. Šios linijos kerta projekcijos plokštumą bet kokiu kampu. Jei šis kampas yra 90 °, mes kalbame apie stačiakampė projekcija. Naudojant stačiakampę projekciją, sukonstruoti tūrinių dalių brėžiniai technologijoje. Šiuo atveju kalbame apie vaizdą iš viršaus, vaizdą iš priekio ir iš šono.

IV skyrius. Tiesios linijos ir plokštumos erdvėje. Daugiakampis

§ 55. Daugiakampio projekcijos plotas.

Prisiminkime, kad kampas tarp tiesės ir plokštumos – tai kampas tarp duotosios tiesės ir jos projekcijos į plokštumą (164 pav.).

Teorema. Daugiakampio stačiakampės projekcijos į plokštumą plotas lygus projektuojamo daugiakampio plotui, padaugintam iš kampo, kurį sudaro daugiakampio plokštuma ir projekcijos plokštuma, kosinuso.

Kiekvienas daugiakampis gali būti suskirstytas į trikampius, kurių plotų suma yra lygi daugiakampio plotui. Todėl pakanka įrodyti trikampio teoremą.

Leisti /\ ABC projektuojamas į plokštumą R. Panagrinėkime du atvejus:
a) viena iš šalių /\ ABC lygiagreti plokštumai R;
b) nei viena šalis /\ ABC nėra lygiagreti R.

Pasvarstykime pirmas atvejis: tegul [AB] || R.

Nubrėžkime plokštumą per (AB) R 1 || R ir projektuoti statmenai /\ ABC įjungta R 1 ir toliau R(165 pav.); mes gauname /\ ABC 1 ir /\ A "B" C.
Pagal mūsų turimą projekcijos savybę /\ ABC 1 /\ A"B"C" ir todėl

S /\ ABC1=S /\ A"B"C"

Nubraižykime _|_ ir atkarpą D 1 C 1 . Tada _|_ , a = φ yra kampo tarp plokštumos reikšmė /\ ABC ir lėktuvas R 1 . Štai kodėl

S /\ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S /\ ABC cos φ

ir todėl S /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ.

Pereikime prie svarstymo antrasis atvejis. Nubraižykime plokštumą R 1 || R per tą viršų /\ ABC, atstumas, nuo kurio iki plokštumos R mažiausias (tebūnie tai viršūnė A).
Suprojektuokime /\ ABC lėktuve R 1 ir R(166 pav.); tegul jos projekcijos būna atitinkamai /\ AB 1 C 1 ir /\ A "B" C.

Tegul (saulė) p 1 = D. Tada

S /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (S /\ ADC-S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ

Užduotis. Per taisyklingosios trikampės prizmės pagrindo kraštinę nubrėžta plokštuma, kurios kampas φ = 30° į jos pagrindo plokštumą. Raskite gauto skerspjūvio plotą, jei prizmės pagrindo kraštinė A= 6 cm.

Pavaizduokime šios prizmės skerspjūvį (167 pav.). Kadangi prizmė yra taisyklinga, jos šoninės briaunos yra statmenos pagrindo plokštumai. Reiškia, /\ ABC yra projekcija /\ Taigi ADC

GEOMETRIJOS
Pamokų planai 10 klasei

56 pamoka

Tema. Daugiakampio stačiakampės projekcijos plotas

Pamokos tikslas: išstudijuoti teoremą apie daugiakampio stačiakampės projekcijos plotą, ugdyti mokinių įgūdžius taikyti išmoktą teoremą sprendžiant uždavinius.

Įranga: stereometrinis komplektas, kubo modelis.

Per užsiėmimus

I. Namų darbų tikrinimas

1. Du mokiniai lentoje atkuria uždavinių Nr. 42, 45 sprendimus.

2. Frontalinė apklausa.

1) Apibrėžkite kampą tarp dviejų plokštumų, kurios susikerta.

2) Koks kampas tarp:

a) lygiagrečios plokštumos;

b) statmenos plokštumos?

3) Kokiose ribose gali kisti kampas tarp dviejų plokštumų?

4) Ar tiesa, kad plokštuma, kuri kerta lygiagrečias plokštumas, kerta jas tais pačiais kampais?

5) Ar tiesa, kad plokštuma, kertanti statmenas plokštumas, kerta jas vienodais kampais?

3. 42, 45 uždavinių, kuriuos mokiniai atkūrė lentoje, sprendimo teisingumo patikrinimas.

II. Naujos medžiagos suvokimas ir įsisąmoninimas

Užduotis studentams

1. Įrodykite, kad trikampio, kurio viena kraštinė yra projekcijos plokštumoje, projekcijos plotas yra lygus jo ploto ir kampo tarp daugiakampio plokštumos ir projekcijos plokštumos kosinuso sandaugai.

2. Įrodykite teoremą atvejui, kai gardelės trikampis yra toks, kurio viena kraštinė lygiagreti projekcijos plokštumai.

3. Įrodykite teoremą tuo atveju, kai gardelės trikampis yra toks, kurio nė viena kraštinė nėra lygiagreti projekcijos plokštumai.

4. Įrodykite bet kurio daugiakampio teoremą.

Problemų sprendimas

1. Raskite daugiakampio, kurio plotas yra 50 cm2, o kampas tarp daugiakampio plokštumos ir jo projekcijos yra 60°, stačiakampės projekcijos plotą.

2. Raskite daugiakampio plotą, jei šio daugiakampio stačiakampės projekcijos plotas yra 50 cm2, o kampas tarp daugiakampio plokštumos ir jo projekcijos yra 45°.

3. Daugiakampio plotas yra 64 cm2, o stačiakampės projekcijos plotas yra 32 cm2. Raskite kampą tarp daugiakampio plokštumų ir jo projekcijos.

4. O gal daugiakampio stačiakampės projekcijos plotas yra lygus šio daugiakampio plotui?

5. Kubo briauna lygi a. Raskite kubo skerspjūvio plotą plokštumoje, kuri eina per pagrindo viršų 30° kampu į šį pagrindą ir kerta visus šoninius kraštus. (Atsakymas.)

6. Užduotis Nr.48 (1, 3) iš vadovėlio (p. 58).

7. Užduotis Nr.49 (2) iš vadovėlio (p. 58).

8. Stačiakampio kraštinės yra 20 ir 25 cm Jo projekcija į plokštumą yra panaši į jį. Raskite projekcijos perimetrą. (Atsakymas: 72 cm arba 90 cm.)

III. Namų darbai

§4, 34 dalis; testo klausimas Nr.17; problemos Nr.48 (2), 49 (1) (p. 58).

IV. Apibendrinant pamoką

Klausimas klasei

1) Pateikite teoremą apie daugiakampio stačiakampės projekcijos plotą.

2) Ar daugiakampio stačiakampės projekcijos plotas gali būti didesnis už daugiakampio plotą?

3) Per stačiojo trikampio ABC hipotenuzę AB nubrėžta plokštuma α 45° kampu į trikampio plokštumą ir statmena CO plokštumai α. AC = 3 cm, BC = 4 cm Nurodykite, kurie iš šių teiginių yra teisingi, o kurie neteisingi.

a) kampas tarp plokštumų ABC ir α lygus kampui SMO, kur taškas H yra trikampio ABC aukščio SM pagrindas;

b) CO = 2,4 cm;

c) trikampis AOC yra stačiakampio trikampio ABC projekcija į plokštumą α;

d) trikampio AOB plotas yra 3 cm2.

(Atsakymas: a) Teisingai; b) neteisingas; c) neteisinga; d) teisinga.)

Išsamus daugiakampės stačiakampės projekcijos teoremos įrodymas

Jei yra buto projekcija n -gon į plokštumą, tada kur yra kampas tarp daugiakampių plokštumų ir. Kitaip tariant, plokštumos daugiakampio projekcijos plotas yra lygus projektuojamo daugiakampio ploto ir kampo tarp projekcijos plokštumos ir projektuojamo daugiakampio plokštumos kosinuso sandaugai.

Įrodymas. aš etapas. Pirmiausia atlikime trikampio įrodymą. Panagrinėkime 5 atvejus.

1 atvejis. guli projekcijos plokštumoje .

Leisti būti taškų projekcijos į plokštumą, atitinkamai. Mūsų atveju. Tarkime, kad. Tegul yra aukštis, tada pagal trijų statmenų teoremą galime daryti išvadą, kad - aukštis (- pasvirusio projekcija, - jo pagrindas ir tiesi linija eina per pasvirimo pagrindą ir).

Pasvarstykime. Jis stačiakampis. Pagal kosinuso apibrėžimą:

Kita vertus, kadangi ir pagal apibrėžimą yra dvisienio kampo, sudaryto iš plokštumų pusplokštumų ir su ribine tiesia linija, tiesinis kampas, todėl jo matas taip pat yra kampo tarp trikampio projekcijos plokštumos ir pats trikampis, tai yra.

Raskime ploto santykį su:

Atminkite, kad formulė išlieka teisinga net tada, kai. Tokiu atveju

2 atvejis. Tik guli projekcijos plokštumoje ir yra lygiagreti projekcijos plokštumai .

Leisti būti taškų projekcijos į plokštumą, atitinkamai. Mūsų atveju.

Nubrėžkime tiesią liniją per tašką. Mūsų atveju tiesė kerta projekcijos plokštumą, o tai reiškia, kad pagal lemą tiesė taip pat kerta projekcijos plokštumą. Tegul tai yra taške Since, tada taškai yra toje pačioje plokštumoje, o kadangi ji lygiagreti projekcijos plokštumai, tai dėl tiesės ir plokštumos lygiagretumo ženklo tai išplaukia. Todėl tai lygiagretainis. Apsvarstykime ir. Jos yra lygios iš trijų kraštinių (bendroji pusė yra kaip priešingos lygiagretainio kraštinės). Atkreipkite dėmesį, kad keturkampis yra stačiakampis ir yra lygus (ant kojos ir hipotenuzės), todėl yra lygus iš trijų kraštų. Štai kodėl.

1 taikytinu atveju: , t.y.

3 atvejis. Tik guli projekcijos plokštumoje ir nėra lygiagreti projekcijos plokštumai .

Tegul taškas yra tiesės ir projekcijos plokštumos susikirtimo taškas. Atkreipkite dėmesį, kad ir. 1 atveju: i. Taigi mes tai gauname

4 atvejis Viršūnės nėra projekcijos plokštumoje . Pažiūrėkime į statmenas. Paimkime mažiausią iš šių statmenų. Tegul jis būna statmenas. Gali pasirodyti, kad tai arba tik, arba tik. Tada vis tiek paimsime.

Atidėkime tašką nuo atkarpos taško taip, o nuo atkarpos taško – tašką, kad. Ši konstrukcija įmanoma, nes ji yra mažiausia iš statmenų. Atkreipkite dėmesį, kad tai yra projekcija ir pagal konstrukciją. Įrodykime, kad ir esame lygūs.

Apsvarstykite keturkampį. Pagal sąlygą - statmenai vienai plokštumai, vadinasi, pagal teoremą, todėl. Kadangi pagal konstrukciją, tai pagal lygiagretainio savybes (lygiagrečiai ir lygiomis priešingomis kraštinėmis) galime daryti išvadą, kad tai lygiagretainis. Reiškia,. Panašiai įrodyta, kad. Todėl ir yra lygūs iš trijų pusių. Štai kodėl. Atkreipkite dėmesį, kad ir, kaip priešingos lygiagretainių pusių, todėl, remiantis plokštumų lygiagretumu, . Kadangi šios plokštumos yra lygiagrečios, jos sudaro tą patį kampą su projekcijos plokštuma.

Ankstesni atvejai taikomi:.

5 atvejis. Projekcinė plokštuma kerta šonus . Pažvelkime į tiesias linijas. Jos yra statmenos projekcijos plokštumai, taigi pagal teoremą yra lygiagrečios. Bendrakrypčių spindulių, kurių pradžios taškai yra taškuose, atitinkamai nubraižysime lygias atkarpas, kad viršūnės būtų už projekcijos plokštumos. Atkreipkite dėmesį, kad tai yra projekcija ir pagal konstrukciją. Parodykime, kad jis lygus.

Nuo tada ir pagal statybą. Todėl pagal lygiagretainio charakteristiką (dviejų lygiagrečių ir lygiagrečių kraštinių) jis yra lygiagretainis. Panašiai įrodoma, kad ir yra lygiagretainiai. Bet tada ir (kaip priešingos pusės) yra lygios iš trijų pusių. Reiškia,.

Be to, ir todėl remiantis plokštumų lygiagretumu. Kadangi šios plokštumos yra lygiagrečios, jos sudaro tą patį kampą su projekcijos plokštuma.

4 taikytinu atveju:.

II etapas. Padalinkime plokščią daugiakampį į trikampius naudodami įstrižaines, nubrėžtas iš viršūnės: Tada pagal ankstesnius trikampių atvejus: .

Q.E.D.