Tg 1 방정식. 아크탄젠트 및 아크코탄젠트. 방정식 tgx = a, ctgx = a 풀기 - Knowledge Hypermarket. 탄젠트와 코탄젠트의 속성

이번 강의에서 우리는 계속해서 아크탄젠트를 연구하고 임의의 a에 대해 tg x = a 형식의 방정식을 풀 것입니다. 수업을 시작할 때 표 형식의 값을 사용하여 방정식을 풀고 그래프와 원에 솔루션을 설명합니다. 다음으로 방정식 tgx = a를 일반 형식으로 풀고 답에 대한 일반 공식을 도출합니다. 그래프와 원으로 계산을 설명하고 다양한 형태의 답을 고려해 보겠습니다. 수업이 끝나면 그래프와 원에 표시된 솔루션을 사용하여 여러 문제를 해결할 것입니다.

주제: 삼각 방정식

강의: 아크탄젠트 및 방정식 tgx=a 풀기(계속)

1. 수업 주제, 소개

이번 강의에서 우리는 실수에 대한 방정식을 푸는 방법을 살펴볼 것입니다.

2. 방정식 tgx=√3의 해

문제 1. 방정식 풀기

함수 그래프를 이용하여 답을 찾아보자 (그림 1).

간격을 고려해 봅시다. 이 간격에서 함수는 단조롭습니다. 즉, 함수의 한 값에 대해서만 달성됩니다.

답변:

숫자원(그림 2)을 사용하여 동일한 방정식을 풀어보겠습니다.

답변:

3. 일반 형식의 방정식 tgx=a의 해

일반적인 형태로 방정식을 풀어보겠습니다(그림 3).

해당 구간에서 방정식은 고유한 해를 갖습니다.

최소 양성 기간

숫자원을 예로 들어 설명하겠습니다(그림 4).

4. 문제 해결

문제 2. 방정식 풀기

변수를 바꿔보자

문제 3. 시스템 해결:

해결 방법(그림 5):

어떤 지점에서 가치는 시스템에 대한 해결책일 뿐이고 지점일 뿐입니다.

답변:

문제 4. 방정식 풀기

변수 변경 방법을 사용하여 해결해 보겠습니다.

문제 5. 구간에서 방정식의 해의 수를 구하십시오.

그래프(그림 6)를 사용하여 문제를 해결해 보겠습니다.

방정식에는 주어진 구간에 대해 세 가지 해가 있습니다.

그래프만큼 명확하지는 않지만 숫자 원(그림 7)으로 설명해 보겠습니다.

답: 세 가지 해결책이 있습니다.

5. 결론, 결론

우리는 아크탄젠트 개념을 사용하여 실수에 대한 방정식을 풀었습니다. 다음 강의에서는 아크 탄젠트(Arc Tangent)의 개념을 소개하겠습니다.

서지

1. 대수학 및 분석의 시작, 10학년(2개 부분). 일반 교육 기관용 교과서(프로필 수준), ed. A. G. 모르드코비치. -M .: Mnemosyne, 2009.

2. 대수학 및 분석의 시작, 10학년(2개 부분). 교육 기관용 문제집(프로필 수준), ed. A. G. 모르드코비치. -M .: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov O. S., Shvartsburd S. I. 10학년을 위한 대수학 및 수학적 분석(수학을 심층적으로 연구하는 학교 및 수업 학생을 위한 교과서) - M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M. L., Moshkovich M. M., Shvartsburd S. I. 대수학 및 수학적 분석에 대한 심층 연구 - M.: Prosveshchenie, 1997.

5. 고등 교육 기관 지원자를 위한 수학 문제 모음(M. I. Skanavi 편집) - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. 대수 시뮬레이터.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. 대수학 및 분석 원리의 문제(일반 교육 기관의 10-11학년 학생들을 위한 매뉴얼) - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. 대수학 및 분석 원리에 관한 문제 모음: 교과서. 10-11학년에 대한 수당. 깊이가 있는 공부했다 수학.-M .: 교육, 2006.

숙제

대수학과 분석의 시작, 10학년(2개 부분). 교육 기관용 문제집(프로필 수준), ed. A. G. 모르드코비치. -M .: Mnemosyne, 2007.

№№ 22.18, 22.21.

추가 웹 리소스

1. 수학.

2. 인터넷 포털 문제. 루.

3. 시험 준비를 위한 교육 포털.

A점을 중심으로 합니다.
α는 라디안으로 표시되는 각도입니다.

탄젠트( 탄 α) 빗변과 직각 삼각형의 다리 사이의 각도 α에 따른 삼각 함수이며 반대쪽 다리 길이의 비율 |BC| 인접한 다리의 길이에 |AB| .

코탄젠트( CTG α) 빗변과 직각 삼각형 다리 사이의 각도 α에 따른 삼각 함수로, 인접한 다리 길이의 비율 |AB| 반대쪽 다리 길이만큼 |BC| .

접선

어디 N- 전체.

서양 문헌에서 탄젠트는 다음과 같이 표시됩니다.
.
;
;
.

접선 함수 그래프, y = tan x

코탄젠트

어디 N- 전체.

서양 문헌에서 코탄젠트는 다음과 같이 표시됩니다.
.
다음 표기법도 허용됩니다.
;
;
.

코탄젠트 함수의 그래프, y = ctg x

탄젠트와 코탄젠트의 속성

주기성

함수 y = tg x그리고 y = CTG X주기가 π인 주기적입니다.

동등

탄젠트 및 코탄젠트 함수는 홀수입니다.

정의 및 가치의 영역, 증가, 감소

탄젠트 및 코탄젠트 함수는 정의 영역에서 연속입니다(연속성 증명 참조). 탄젠트와 코탄젠트의 주요 속성은 표에 나와 있습니다 ( N- 전체).

	y= tg x	y= CTG X
범위와 연속성
값의 범위	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
증가		-
내림차순	-
과격한 수단	-	-
0, y = 0
세로축을 사용하여 점을 가로채고, x = 0	y= 0	-

방식

사인과 코사인을 사용한 표현식

; ;
; ;
;

합과 차이의 탄젠트와 코탄젠트 공식

나머지 공식은 쉽게 구할 수 있습니다. 예를 들어

접선의 곱

탄젠트의 합과 차이에 대한 공식

이 표는 인수의 특정 값에 대한 탄젠트 및 코탄젠트 값을 나타냅니다.

복소수를 사용한 표현식

쌍곡선 함수를 통한 표현

;
;

파생상품

; .

.
함수의 변수 x에 대한 n차 도함수:
.
탄젠트 공식 도출 > > > ; 코탄젠트의 경우 > > >

적분

시리즈 확장

x의 거듭제곱으로 접선의 확장을 얻으려면 함수에 대한 거듭제곱의 확장에 대한 여러 항을 취해야 합니다. 죄 x그리고 왜냐하면 x그리고 이 다항식을 서로 나누면 . 그러면 다음과 같은 공식이 생성됩니다.

에 .

에 .
어디 대- 베르누이 수. 이는 재발 관계에서 결정됩니다.
;
;
어디 .
또는 Laplace의 공식에 따르면:

역함수

탄젠트와 코탄젠트의 역함수는 각각 아크탄젠트와 아크코탄젠트입니다.

아크탄젠트, arctg

, 어디 N- 전체.

아크코탄젠트, arcctg

, 어디 N- 전체.

참고자료:
안에. 브론스타인, K.A. Semendyaev, 엔지니어 및 대학생을 위한 수학 핸드북, "Lan", 2009.
G. Korn, 과학자 및 엔지니어를 위한 수학 핸드북, 2012.

프로그램 초반에 학생들은 삼각 방정식을 푸는 아이디어를 얻었고 아크 코사인과 아크 사인의 개념과 방정식 cos t = a 및 sin t = a에 대한 해법의 예에 익숙해졌습니다. 이 비디오 튜토리얼에서는 방정식 tg x = a 및 ctg x = a를 푸는 방법을 살펴보겠습니다.

이 주제에 대한 연구를 시작하려면 방정식 tg x = 3 및 tg x = - 3을 고려하십시오. 그래프를 사용하여 방정식 tg x = 3을 풀면 함수 y = tg x 및 그래프의 교차점을 볼 수 있습니다. y = 3에는 무한한 수의 해가 있습니다. 여기서 x = x 1 + πk입니다. x 1 값은 y = tan x 및 y = 3 함수 그래프의 교차점의 x 좌표입니다. 저자는 아크탄젠트 개념을 소개합니다. arctan 3은 tan이 3인 숫자이고 이 숫자는 -π/2에서 π/2 사이의 구간에 속합니다. 아크탄젠트 개념을 사용하여 방정식 tan x = 3의 해는 x = arctan 3 + πk로 쓸 수 있습니다.

비유적으로, 방정식 tg x = - 3은 함수 y = tg x 및 y = - 3의 구성된 그래프에서 풀 수 있으며, 그래프의 교차점과 방정식의 해는 다음과 같습니다. x = x 2 + πk가 됩니다. 아크탄젠트를 사용하면 해는 x = arctan (- 3) + πk로 쓸 수 있습니다. 다음 그림에서 우리는 arctg (- 3) = - arctg 3을 볼 수 있습니다.

아크탄젠트의 일반적인 정의는 다음과 같습니다: 아크탄젠트 a는 탄젠트가 a와 같은 -π/2에서 π/2까지의 간격에 있는 숫자입니다. 그러면 방정식 tan x = a의 해는 x = arctan a + πk입니다.

저자는 예 1을 제공합니다. arctg 표현식에 대한 해법을 찾으십시오. 표기법을 소개하겠습니다. 숫자의 아크탄젠트가 x와 같으면 tg x는 주어진 숫자와 같을 것입니다. 여기서 x는 -π의 세그먼트에 속합니다. /2 ~ π/2. 이전 항목의 예와 마찬가지로 값 테이블을 사용합니다. 이 표에 따르면 이 숫자의 탄젠트는 x = π/3 값에 해당합니다. 방정식의 해를 적어 보겠습니다. 주어진 숫자의 아크탄젠트는 π/3과 같고 π/3은 -π/2에서 π/2까지의 간격에도 속합니다.

예 2 - 음수의 아크탄젠트를 계산합니다. 등식 arctg (- a) = - arctg a를 사용하여 x 값을 입력합니다. 예제 2와 유사하게 -π/2에서 π/2까지의 세그먼트에 속하는 x 값을 기록합니다. 값 표에서 x = π/3이므로 --tg x = - π/3입니다. 방정식의 답은 - π/3입니다.

예 3을 생각해 봅시다. 방정식 tg x = 1을 풉니다. x = arctan 1 + πk라고 쓰십시오. 표에서 tg 1 값은 x = π/4 값에 해당하므로 arctg 1 = π/4입니다. 이 값을 원래 공식 x에 대입하고 답 x = π/4 + πk를 쓰겠습니다.

예 4: tan x = - 4.1을 계산합니다. 이 경우 x = arctan(-4.1) + πk입니다. 왜냐하면 이 경우 arctg 값을 찾는 것은 불가능합니다. 답은 x = arctg (-4.1) + πk와 같습니다.

예제 5에서는 부등식 tg x > 1에 대한 해를 고려합니다. 이를 해결하기 위해 함수 y = tan x 및 y = 1의 그래프를 구성합니다. 그림에서 볼 수 있듯이 이 그래프는 x = 지점에서 교차합니다. π/4 + πk. 왜냐하면 이 경우 tg x > 1인 경우 그래프에서 그래프 y = 1 위에 있는 접선 영역을 강조 표시합니다. 여기서 x는 π/4에서 π/2까지의 구간에 속합니다. 답을 π/4 + πk로 씁니다.< x < π/2 + πk.

다음으로 방정식 cot x = a를 고려하십시오. 그림은 교차점이 많은 함수 y = cot x, y = a, y = - a의 그래프를 보여줍니다. 해는 x = x 1 + πk(여기서 x 1 = arcctg a 및 x = x 2 + πk, 여기서 x 2 = arcctg (- a))로 작성할 수 있습니다. x 2 = π - x 1 임을 알 수 있습니다. 이는 동등 arcctg (- a) = π - arcctg a를 의미합니다. 다음은 아크 코탄젠트의 정의입니다. 아크 코탄젠트 a는 코탄젠트가 a와 같은 0에서 π까지의 간격에 있는 숫자입니다. 방정식 сtg x = a의 해는 x = arcctg a + πk로 작성됩니다.

비디오 강의가 끝나면 또 다른 중요한 결론이 내려집니다. a가 0이 아닌 경우 ctg x = a라는 표현은 tg x = 1/a로 쓸 수 있습니다.

텍스트 디코딩:

방정식 tg x = 3 및 tg x = - 3을 푸는 것을 고려해 보겠습니다. 첫 번째 방정식을 그래픽으로 풀면 y = tg x 및 y = 3 함수의 그래프에 무한히 많은 교차점이 있으며 가로좌표는 다음과 같습니다. ~의 형태의

x = x 1 + πk, 여기서 x 1은 직선 y = 3과 접선의 주요 가지 (그림 1)의 교차점의 가로 좌표이며 지정이 발명되었습니다.

arctan 3(3의 아크 탄젠트).

arctg 3을 이해하는 방법?

탄젠트가 3인 숫자이고 이 숫자는 간격(- ;)에 속합니다. 그러면 방정식 tg x = 3의 모든 근은 x = arctan 3+πk 공식으로 쓸 수 있습니다.

마찬가지로, 방정식 tg x = - 3의 해는 x = x 2 + πk 형식으로 작성할 수 있습니다. 여기서 x 2는 직선 y = - 3과 주 가지의 교차점의 가로좌표입니다. 접선형(그림 1), 지정 arctg(- 3) (아크 탄젠트 빼기 3). 그런 다음 방정식의 모든 근은 x = arctan(-3)+ πk 공식으로 쓸 수 있습니다. 그림은 arctg(- 3)= - arctg 3을 보여줍니다.

아크탄젠트의 정의를 공식화해 보겠습니다. 아크탄젠트 a는 탄젠트가 a와 같은 간격(-;)의 숫자입니다.

동등성은 종종 사용됩니다: arctg(-a) = -arctg a, 이는 모든 a에 유효합니다.

아크탄젠트의 정의를 알면 방정식의 해에 대한 일반적인 결론을 내릴 수 있습니다.

tg x= a: 방정식 tg x = a는 x = arctan a + πk의 해를 갖습니다.

예를 살펴보겠습니다.

예 1. 아크탄을 계산합니다.

해결책. arctg = x, tgх = 및 xϵ (- ;)로 둡니다. 값 테이블 표시 따라서 tg = 및 ϵ (- ;)이므로 x =입니다.

그래서 아크탄=.

예 2. 아크탄(-)을 계산합니다.

해결책. 등식 arctg(- a) = - arctg a를 사용하여 다음과 같이 작성합니다.

arctg(-) = - arctg . - arctg = x, - tgх = 및 xϵ (- ;)로 둡니다. 따라서 tg = 및 ϵ (- ;)이므로 x =입니다. 값 표 표시

이는 - arctg=- tgх= - 를 의미합니다.

예 3. 방정식 tgх = 1을 풉니다.

1. 해 공식을 적습니다: x = arctan 1 + πk.

2. 아크탄젠트 값 찾기

이후 tg = . 값 표 표시

따라서 arctan1= .

3. 찾은 값을 해 공식에 넣습니다.

예 4. 방정식 tgх = - 4.1을 풉니다(탄젠트 x는 마이너스 4포인트 1과 같습니다).

해결책. 해 공식을 작성해 봅시다: x = arctan (-4.1) + πk.

아크탄젠트 값을 계산할 수 없으므로 방정식의 해를 얻은 형태로 남겨두겠습니다.

예 5. 불평등 tgх 1을 해결합니다.

해결책. 그래픽으로 해결해드리겠습니다.

탄젠트를 만들어보자

y = tgх 및 직선 y = 1(그림 2). 그들은 x = + πk와 같은 점에서 교차합니다.

2. 조건 tgх 1이므로 접선의 주요 가지가 직선 y = 1 위에 위치하는 x축의 간격을 선택하겠습니다. 이것이 간격(;)입니다.

3. 함수의 주기성을 사용합니다.

성질 2. y=tg x는 주주기가 π인 주기함수이다.

함수 y = tgх의 주기성을 고려하여 답을 작성합니다.

(;). 답은 이중 부등식으로 작성할 수 있습니다.

방정식 ctg x = a로 넘어 갑시다. 양수 및 음수 a에 대한 방정식의 해법을 그래픽으로 보여드리겠습니다(그림 3).

함수 y = ctg x 및 y = a의 그래프

y=ctg x 및 y=-a

무한히 많은 공통점을 가지고 있으며 그 가로좌표는 다음과 같습니다.

x = x 1 +, 여기서 x 1은 직선 y = a와 접선의 주요 가지의 교차점의 가로좌표이고

x 1 = arcctg a;

x = x 2 +, 여기서 x 2는 선 교차점의 가로좌표입니다.

y = - a는 접선의 주요 가지이고 x 2 = arcсtg (- a)입니다.

x 2 = π - x 1임을 참고하세요. 따라서 중요한 평등을 적어 보겠습니다.

arcсtg (-а) = π - arcсtg а.

정의를 공식화해 보겠습니다. 아크 코탄젠트 a는 코탄젠트가 a와 같은 구간 (0;π)의 숫자입니다.

방정식 ctg x = a의 해는 x = arcctg a + 형식으로 작성됩니다.

방정식 ctg x = a는 다음 형식으로 변환될 수 있습니다.

tg x = , a = 0인 경우는 제외.

문제에 대한 자세한 해결책을 주문할 수 있습니다!!!

삼각 함수(`sin x, cos x, tan x` 또는 `ctg x`) 기호 아래에 미지수를 포함하는 등식을 삼각 방정식이라고 하며, 우리가 더 고려할 공식입니다.

가장 간단한 방정식은 `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`입니다. 여기서 `x`는 구하려는 각도이고 `a`는 임의의 숫자입니다. 각각의 기본 공식을 적어 보겠습니다.

1. 방정식 `sin x=a`.

`|a|>1`의 경우 해결책이 없습니다.

`|a| \leq 1`에는 무한한 수의 해가 있습니다.

근 공식: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. 방정식 `cos x=a`

`|a|>1`의 경우 - 사인의 경우와 마찬가지로 실수 사이에는 해가 없습니다.

`|a| \leq 1`에는 무한한 수의 해가 있습니다.

근 공식: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

그래프의 사인 및 코사인에 대한 특수한 경우입니다.

3. 방정식 `tg x=a`

`a` 값에 대해 무한한 수의 솔루션이 있습니다.

근 공식: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. 방정식 `ctg x=a`

또한 `a` 값에 대해 무한한 수의 솔루션이 있습니다.

근 공식: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

표에 있는 삼각 방정식의 근에 대한 공식

사인의 경우:
코사인의 경우:
탄젠트 및 코탄젠트의 경우:
역삼각함수를 포함하는 방정식을 풀기 위한 공식:

삼각 방정식을 푸는 방법

삼각 방정식을 푸는 것은 두 단계로 구성됩니다.

가장 단순한 것으로 변환하는 데 도움이 됩니다.
위에 쓰여진 기본 공식과 표를 사용하여 얻은 가장 간단한 방정식을 풀어보세요.

예시를 통해 주요 해결 방법을 살펴보겠습니다.

대수적 방법.

이 방법에는 변수를 대체하고 이를 등식으로 대체하는 작업이 포함됩니다.

예. 방정식을 푼다: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

교체합니다: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, 그런 다음 `2y^2-3y+1=0`,

우리는 뿌리 `y_1=1, y_2=1/2`를 찾았고, 그로부터 두 가지 경우가 따릅니다:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac\pi 6+2\pi n`.

답: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

채권 차압 통고.

예. 방정식을 풀어보세요: `sin x+cos x=1`.

해결책. 모든 등식 항을 왼쪽으로 이동해 보겠습니다. `sin x+cos x-1=0`. 를 사용하여 좌변을 변환하고 인수분해합니다.

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

`sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

답: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

동차방정식으로의 환원

먼저 이 삼각 방정식을 다음 두 가지 형식 중 하나로 줄여야 합니다.

`a sin x+b cos x=0`(1차 동차 방정식) 또는 `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0`(2차 동차 방정식).

그런 다음 두 부분을 첫 번째 경우에는 `cos x \ne 0`으로 나누고 두 번째 경우에는 `cos^2 x \ne 0`으로 나눕니다. 우리는 `tg x`에 대한 방정식인 `a tg x+b=0` 및 `a tg^2 x + b tg x +c =0`을 얻었으며 이는 알려진 방법을 사용하여 풀어야 합니다.

예. 방정식을 풀어보세요: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

해결책. 우변을 `1=sin^2 x+cos^2 x`로 쓰자:

`2 죄^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

이것은 2차 동차 삼각 방정식입니다. 왼쪽과 오른쪽을 `cos^2 x \ne 0`으로 나누면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

`\frac(sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. 대체 `tg x=t`를 도입하여 `t^2 + t - 2=0`이 되도록 합시다. 이 방정식의 근본은 `t_1=-2` 및 `t_2=1`입니다. 그 다음에:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

답변. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

반각으로 이동

예. 방정식을 푼다: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

해결책. 이중 각도 공식을 적용해 보겠습니다. 결과: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

위에서 설명한 대수적 방법을 적용하면 다음을 얻습니다.

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

답변. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

보조 각도 소개

삼각 방정식 'a sin x + b cos x =c'(여기서 a,b,c는 계수이고 x는 변수)에서 양변을 `sqrt (a^2+b^2)`로 나눕니다.

``\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

왼쪽의 계수는 사인과 코사인의 속성을 가지고 있습니다. 즉, 그 제곱의 합은 1이고 모듈은 1보다 크지 않습니다. 이를 다음과 같이 표시하겠습니다: ``\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, 그러면:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

다음 예를 자세히 살펴보겠습니다.

예. 방정식을 푼다: `3 sin x+4 cos x=2`.

해결책. 등식의 양쪽을 `sqrt (3^2+4^2)`로 나누면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

``\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 죄 x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`라고 표시해 보겠습니다. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`이므로 `\varphi=arcsin 4/5`를 보조 각도로 사용합니다. 그런 다음 평등을 다음 형식으로 작성합니다.

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

사인 각도의 합 공식을 적용하여 다음 형식으로 평등을 작성합니다.

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

답변. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

분수 합리적 삼각 방정식

이는 분자와 분모에 삼각 함수가 포함된 분수와 동일합니다.

예. 방정식을 풀어보세요. `\frac(sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

해결책. 등식의 우변에 '(1+cos x)'를 곱하고 나눕니다. 결과적으로 우리는 다음을 얻습니다:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

분모가 0과 같을 수 없다는 점을 고려하면 `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`를 얻습니다.

분수의 분자를 0과 동일시해 봅시다: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. 그러면 `sin x=0` 또는 `1-sin x=0`이 됩니다.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`라고 가정하면 해는 `x=2\pi n, n \in Z` 및 `x=\pi /2+2\pi n`입니다. , `n \in Z`.

답변. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

삼각법, 특히 삼각 방정식은 기하학, 물리학, 공학의 거의 모든 영역에서 사용됩니다. 공부는 10학년부터 시작됩니다. 통합 상태 시험에는 항상 과제가 있으므로 삼각 방정식의 모든 공식을 기억하도록 노력하세요. 확실히 도움이 될 것입니다!

하지만 꼭 외울 필요도 없고, 본질을 이해하고 도출할 수 있는 것이 가장 중요합니다. 보이는 것만큼 어렵지는 않습니다. 영상을 통해 직접 확인해 보세요.