معادله Tg 1. Arctangent و Arccotangent. حل معادلات tgx = a, ctgx = a - هایپر مارکت دانش. خواص مماس و کوتانژانت

در این درس ما به مطالعه تانژانت و حل معادلات شکل tg x = a برای هر a ادامه خواهیم داد. در ابتدای درس معادله ای را با مقدار جدول حل می کنیم و جواب را روی نمودار و سپس روی دایره نشان می دهیم. سپس معادله tgx = a را به صورت کلی حل کرده و فرمول کلی پاسخ را استخراج می کنیم. بیایید محاسبات را روی یک نمودار و یک دایره نشان دهیم و اشکال مختلف پاسخ را در نظر بگیریم. در پایان درس، چندین مسئله را با راه حل هایی که روی نمودار و روی یک دایره نشان داده شده اند حل می کنیم.

موضوع: معادلات مثلثاتی

درس: Arctangent و حل معادله tgx=a (ادامه)

1. موضوع درس، مقدمه

در این درس به حل معادله هر واقعی خواهیم پرداخت

2. حل معادله tgx=√3

مسئله 1. معادله را حل کنید

بیایید با استفاده از نمودارهای تابع راه حل را پیدا کنیم (عکس. 1).

بیایید بازه را در نظر بگیریم، در این بازه تابع یکنواخت است، یعنی فقط برای یک مقدار تابع به دست می آید.

پاسخ:

بیایید همان معادله را با استفاده از دایره عددی حل کنیم (شکل 2).

پاسخ:

3. حل معادله tgx=a به صورت کلی

اجازه دهید معادله را به صورت کلی حل کنیم (شکل 3).

در بازه معادله یک راه حل منحصر به فرد دارد

کوچکترین دوره مثبت

اجازه دهید دایره عددی را نشان دهیم (شکل 4).

4. حل مسئله

مسئله 2. معادله را حل کنید

بیایید متغیر را تغییر دهیم

مشکل 3. حل سیستم:

راه حل (شکل 5):

در یک نقطه، ارزش است بنابراین راه حل برای سیستم تنها نقطه است

پاسخ:

مسئله 4. معادله را حل کنید

بیایید با استفاده از روش تغییر متغیر حل کنیم:

مسئله 5. تعداد جواب های معادله را در بازه بیابید

بیایید با استفاده از نمودار مشکل را حل کنیم (شکل 6).

معادله سه راه حل در یک بازه معین دارد.

بیایید آن را روی یک دایره عددی نشان دهیم (شکل 7)، اگرچه به اندازه نمودار واضح نیست.

جواب: سه راه حل.

5. نتیجه گیری، نتیجه گیری

ما معادله هر واقعی را با استفاده از مفهوم قطبی حل کردیم. در درس بعدی مفهوم مماس قوس را معرفی خواهیم کرد.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. جبر و شروع تحلیل پایه 10 (در دو قسمت). کتاب درسی موسسات آموزش عمومی (سطح مشخصات)، ویرایش. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne، 2009.

2. جبر و شروع تحلیل پایه 10 (در دو قسمت). کتاب مسائل موسسات آموزشی (سطح مشخصات)، ویرایش. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne، 2007.

3. Vilenkin N. Ya.، Ivashev-Musatov O. S.، Shvartsburd S. I. جبر و تجزیه و تحلیل ریاضی برای کلاس 10 (کتاب درسی برای دانش آموزان مدارس و کلاس هایی با مطالعه پیشرفته ریاضیات). - M.: Prosveshchenie، 1996.

4. Galitsky M. L.، Moshkovich M. M.، Shvartsburd S. I. مطالعه عمیق جبر و تجزیه و تحلیل ریاضی - M.: Prosveshchenie، 1997.

5. مجموعه مسائل ریاضی برای متقاضیان مؤسسات آموزش عالی (ویرایش م. ای. اسکانوی).- م.: دبیرستان، 1371.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraic simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S. M.، Goldman A. M.، Denisov D. V. مشکلات در جبر و اصول تجزیه و تحلیل (راهنمای دانش آموزان در کلاس های 10-11 موسسات آموزش عمومی). - M.: Prosveshchenie، 2003.

8. Karp A.P. مجموعه مسائل جبر و اصول تجزیه و تحلیل: کتاب درسی. کمک هزینه برای نمرات 10-11. با عمق مطالعه کرد ریاضیات.-م.: آموزش و پرورش، 1385.

مشق شب

جبر و شروع تحلیل پایه دهم (در دو قسمت). کتاب مسائل موسسات آموزشی (سطح مشخصات)، ویرایش. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne، 2007.

№№ 22.18, 22.21.

منابع وب اضافی

1. ریاضیات.

2. مشکلات پورتال اینترنتی. ru.

3. پورتال آموزشی برای آمادگی آزمون.

در مرکز نقطه A.
α زاویه ای است که بر حسب رادیان بیان می شود.

مماس ( قهوهای مایل به زرد α) تابع مثلثاتی است بسته به زاویه α بین هیپوتنوز و ساق مثلث قائم الزاویه، برابر با نسبت طول پایه مقابل | BC| به طول پای مجاور |AB| .

کوتانژانت ( ctg α) تابع مثلثاتی است بسته به زاویه α بین هیپوتنوز و ساق مثلث قائم الزاویه، برابر با نسبت طول پایه مجاور |AB| به طول پای مقابل |پیش از میلاد| .

مماس

جایی که n- کل

در ادبیات غرب، مماس را به صورت زیر نشان می دهند:
.
;
;
.

نمودار تابع مماس، y = tan x

کوتانژانت

جایی که n- کل

در ادبیات غربی، کوتانژانت به صورت زیر نشان داده می شود:
.
نمادهای زیر نیز پذیرفته شده است:
;
;
.

نمودار تابع کتانژانت، y = ctg x

خواص مماس و کوتانژانت

دوره ای

توابع y = tg xو y = ctg xتناوبی با دوره π هستند.

برابری

توابع مماس و کتانژانت فرد هستند.

حوزه های تعریف و ارزش، افزایش، کاهش

توابع مماس و کتانژانت در حوزه تعریف خود پیوسته هستند (به اثبات پیوستگی مراجعه کنید). خواص اصلی مماس و کوتانژانت در جدول ارائه شده است ( n- کل).

	y= tg x	y= ctg x
دامنه و تداوم
محدوده ارزش ها	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
در حال افزایش است		-
نزولی	-
افراط	-	-
صفر، y = 0
نقاط قطع را با محور مختصات، x = 0	y= 0	-

فرمول ها

عبارات با استفاده از سینوس و کسینوس

; ;
; ;
;

فرمول های مماس و کتانژانت از مجموع و تفاوت

به عنوان مثال، فرمول های باقی مانده به راحتی به دست می آیند

محصول مماس ها

فرمول مجموع و تفاضل مماس ها

این جدول مقادیر مماس ها و کوتانژانت ها را برای مقادیر معینی از آرگومان نشان می دهد.

عبارات با استفاده از اعداد مختلط

عبارات از طریق توابع هذلولی

;
;

مشتقات

; .

.
مشتق از مرتبه n با توجه به متغیر x تابع:
.
استخراج فرمول های مماس > > > ; برای کوتانژانت > > >

انتگرال ها

گسترش سری

برای به دست آوردن انبساط مماس در توان های x، باید چندین ترم انبساط را در یک سری توان برای توابع بگیرید. گناه xو cos xو این چند جمله ای ها را بر یکدیگر تقسیم کنید، . این فرمول های زیر را تولید می کند.

در .

در .
جایی که Bn- اعداد برنولی آنها یا از رابطه عود تعیین می شوند:
;
;
جایی که .
یا طبق فرمول لاپلاس:

توابع معکوس

توابع معکوس مماس و کوتانژانت به ترتیب تانژانت و کوتانژانت هستند.

Arctangent، arctg

، جایی که n- کل

Arccotangent، arcctg

، جایی که n- کل

منابع:
که در. برونشتاین، ک.ا. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان، "Lan"، 2009.
جی کورن، کتابچه راهنمای ریاضیات برای دانشمندان و مهندسان، 2012.

در اوایل برنامه، دانش آموزان ایده حل معادلات مثلثاتی را به دست آوردند، با مفاهیم کسینوس قوس و سینوس قوس و نمونه هایی از حل معادلات cos t = a و sin t = a آشنا شدند. در این فیلم آموزشی به حل معادلات tg x = a و ctg x = a خواهیم پرداخت.

برای شروع مطالعه این موضوع، معادلات tg x = 3 و tg x = - 3 را در نظر بگیرید. اگر معادله tg x = 3 را با استفاده از نمودار حل کنیم، خواهیم دید که تقاطع نمودارهای توابع y = tg x و y = 3 دارای بی نهایت جواب است که x = x 1 + πk. مقدار x 1 مختصات x نقطه تقاطع نمودارهای توابع y = tan x و y = 3 است. نویسنده مفهوم قطبی را معرفی می کند: arctan 3 عددی است که tan آن برابر با 3 است و این عدد متعلق به فاصله -π/2 تا π/2 است. با استفاده از مفهوم قطبی، جواب معادله tan x = 3 را می توان به صورت x = arctan 3 + πk نوشت.

با قیاس معادله tg x = - 3 حل می شود. از نمودارهای ساخته شده توابع y = tg x و y = - 3، مشخص می شود که نقاط تلاقی نمودارها و در نتیجه جواب معادلات، خواهد بود. x = x 2 + πk باشد. با استفاده از تانژانت، راه حل را می توان به صورت x = arctan (- 3) + πk نوشت. در شکل بعدی می بینیم که arctg (- 3) = - arctg 3.

تعریف کلی تانژانت قوسی به این صورت است: مماس قوس a عددی از فاصله -π/2 تا π/2 است که مماس آن برابر با a است. سپس جواب معادله tan x = a x = arctan a + πk است.

نویسنده مثال 1 را ارائه می دهد. برای عبارت arctan راه حلی بیابید. اجازه دهید این نماد را معرفی کنیم: مماس قوس یک عدد برابر با x است، سپس tg x برابر با عدد داده شده خواهد بود، جایی که x متعلق به بخش از -π است. /2 تا π/2. مانند مثال های مباحث قبلی، از جدول مقادیر استفاده خواهیم کرد. طبق این جدول مماس این عدد با مقدار x = π/3 مطابقت دارد. اجازه دهید راه حل معادله را بنویسیم: مماس قوس یک عدد معین برابر با π/3 است، π/3 نیز متعلق به بازه -π/2 تا π/2 است.

مثال 2 - تانژانت یک عدد منفی را محاسبه کنید. با استفاده از برابری arctg (- a) = - arctg a مقدار x را وارد می کنیم. مشابه مثال 2، مقدار x را می نویسیم که متعلق به بخش -π/2 تا π/2 است. از جدول مقادیر متوجه می شویم که x = π/3، بنابراین - tg x = - π/3. پاسخ معادله - π/3 است.

بیایید مثال 3 را در نظر بگیریم. معادله tg x = 1 را حل کنید. بنویسید که x = arctan 1 + πk. در جدول، مقدار tg 1 مربوط به مقدار x = π/4 است، بنابراین، arctg 1 = π/4 است. بیایید این مقدار را با فرمول اصلی x جایگزین کنیم و پاسخ x = π/4 + πk را بنویسیم.

مثال 4: محاسبه tan x = - 4.1. در این مورد x = آرکتان (- 4.1) + πk. زیرا یافتن مقدار arctg در این مورد ممکن نیست؛ پاسخ به صورت x = arctg (- 4.1) + πk خواهد بود.

در مثال 5 راه حل نابرابری tg x > 1 در نظر گرفته شده است که برای حل آن، نمودارهایی از توابع y = tan x و y = 1 می سازیم. همانطور که در شکل مشاهده می شود، این نمودارها در نقاط x = قطع می شوند. π/4 + πk. زیرا در این مورد tg x > 1، در نمودار، ناحیه مماس را برجسته می کنیم، که در بالای نمودار y = 1 قرار دارد، جایی که x متعلق به فاصله π/4 تا π/2 است. پاسخ را به صورت π/4 + πk می نویسیم< x < π/2 + πk.

بعد، معادله cot x = a را در نظر بگیرید. شکل نمودارهایی از توابع y = cot x، y = a، y = - a را نشان می دهد که نقاط تقاطع زیادی دارند. راه حل ها را می توان به صورت x = x 1 + πk نوشت، که در آن x 1 = arcctg a و x = x 2 + πk، که در آن x 2 = arcctg (- a). توجه داشته باشید که x 2 = π - x 1 . این به معنای برابری arcctg (- a) = π - arcctg a است. در زیر تعریفی از کوتانژانت قوس ارائه شده است: کوتانژانت قوس a عددی از بازه 0 تا π است که کوتانژانت آن برابر با a است. حل معادله сtg x = a به صورت زیر نوشته می شود: x = arcctg a + πk.

در پایان درس ویدیویی، نتیجه گیری مهم دیگری انجام می شود - عبارت ctg x = a را می توان به صورت tg x = 1/a نوشت، مشروط بر اینکه a برابر با صفر نباشد.

رمزگشایی متن:

بیایید حل معادلات tg x = 3 و tg x = - 3 را در نظر بگیریم. با حل معادله اول به صورت گرافیکی، می بینیم که نمودارهای توابع y = tg x و y = 3 دارای بی نهایت نقاط تقاطع هستند که ابسیساهای آنها را می نویسیم. در فرم

x = x 1 + πk، که در آن x 1 آبسیسا نقطه تقاطع خط مستقیم y = 3 با شاخه اصلی مماس (شکل 1) است که نام برای آن اختراع شده است.

آرکتان 3 (قوس مماس از سه).

چگونه arctg 3 را بفهمیم؟

این عددی است که مماس آن 3 است و این عدد متعلق به بازه (-;) است. سپس تمام ریشه های معادله tg x = 3 را می توان با فرمول x = arctan 3 + πk نوشت.

به طور مشابه، حل معادله tg x = - 3 را می توان به شکل x = x 2 + πk نوشت، که در آن x 2 آبسیسا نقطه تقاطع خط مستقیم y = - 3 با شاخه اصلی است. مماس (شکل 1)، که برای آن علامت arctg(- 3) (مماس قوس منهای سه) است. سپس تمام ریشه های معادله را می توان با فرمول نوشت: x = arctan(-3)+ πk. شکل نشان می دهد که arctg(- 3)= - arctg 3.

اجازه دهید تعریف آرکتانژانت را فرموله کنیم. مماس قوس a عددی از بازه (-;) است که مماس آن برابر با a است.

تساوی اغلب استفاده می شود: arctg(-a) = -arctg a، که برای هر a معتبر است.

با دانستن تعریف تانژانت، می‌توانیم یک نتیجه کلی در مورد جواب معادله داشته باشیم

tg x= a: معادله tg x = a یک راه حل دارد x = arctan a + πk.

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

مثال 1. آرکتان را محاسبه کنید.

راه حل. اجازه دهید arctg = x، سپس tgх = و xϵ (-;). جدول مقادیر را نشان دهید بنابراین، x =، زیرا tg = و ϵ (- ;).

بنابراین، آرکتان =.

مثال 2. آرکتان (-) را محاسبه کنید.

راه حل. با استفاده از برابری arctg(- a) = - arctg a، می نویسیم:

arctg(-) = - arctg . اجازه دهید - arctg = x، سپس - tgх = و xϵ (-;). بنابراین، x =، زیرا tg = و ε (-;). نمایش جدول مقادیر

این یعنی - arctg=- tgх= - .

مثال 3. معادله tgх = 1 را حل کنید.

1. فرمول حل را بنویسید: x = arctan 1 + πk.

2. مقدار متقاطع را بیابید

از آنجایی که tg = . نمایش جدول مقادیر

بنابراین arctan1= .

3. مقدار پیدا شده را در فرمول حل قرار دهید:

مثال 4. معادله tgх = - 4.1 را حل کنید (مماس x برابر است با منهای چهار نقطه یک).

راه حل. بیایید فرمول حل را بنویسیم: x = arctan (- 4.1) + πk.

نمی‌توانیم مقدار مقطعه را محاسبه کنیم، بنابراین جواب را به شکل به دست آمده به معادله واگذار می‌کنیم.

مثال 5. نابرابری tgх 1 را حل کنید.

راه حل. ما آن را به صورت گرافیکی حل خواهیم کرد.

1. بیایید یک مماس بسازیم

y = tgx و خط مستقیم y = 1 (شکل 2). آنها در نقاطی مانند x = + πk همدیگر را قطع می کنند.

2. اجازه دهید بازه ای از محور x را انتخاب کنیم که در آن شاخه اصلی مماس بالای خط مستقیم y = 1 قرار دارد، زیرا طبق شرط tgх 1. این بازه (;) است.

3. از تناوب تابع استفاده می کنیم.

خاصیت 2. y=tg x تابع تناوبی با دوره اصلی π است.

با در نظر گرفتن تناوب تابع y = tgх، پاسخ را می نویسیم:

(;). پاسخ را می توان به صورت یک نابرابری مضاعف نوشت:

بیایید به معادله ctg x = a برویم. اجازه دهید یک تصویر گرافیکی از حل معادله مثبت و منفی a ارائه دهیم (شکل 3).

نمودارهای توابع y = ctg x و y = a و همچنین

y=ctg x و y=-a

دارای بی نهایت نقاط مشترک هستند که ابسیساهای آنها به صورت زیر است:

x = x 1 +، که در آن x 1 آبسیسا نقطه تلاقی خط مستقیم y = a با شاخه اصلی مماس و

x 1 = arcctg a;

x = x 2 +، که در آن x 2 آبسیسا نقطه تلاقی خط است

y = - a با شاخه اصلی مماس و x 2 = arcсtg (- a).

توجه داشته باشید که x 2 = π - x 1. بنابراین، بیایید یک برابری مهم را بنویسیم:

arcсtg (-a) = π - arcсtg а.

اجازه دهید این تعریف را فرموله کنیم: کوتانژانت قوس a عددی از بازه (0;π) است که کوتانژانت آن برابر با a است.

جواب معادله ctg x = a به شکل x = arcctg a + نوشته می شود.

لطفاً توجه داشته باشید که معادله ctg x = a را می توان به شکل تبدیل کرد

tg x = به جز زمانی که a = 0 باشد.

شما می توانید یک راه حل دقیق برای مشکل خود سفارش دهید!!!

تساوی حاوی یک مجهول تحت علامت یک تابع مثلثاتی ("sin x، cos x، tan x" یا "ctg x") معادله مثلثاتی نامیده می‌شود و فرمول‌های آن‌ها است که در ادامه بررسی خواهیم کرد.

ساده ترین معادلات عبارتند از: sin x=a، cos x=a، tg x=a، ctg x=a». اجازه دهید فرمول های ریشه را برای هر یک از آنها بنویسیم.

1. معادله `sin x=a`.

برای `|a|>1` هیچ راه حلی ندارد.

زمانی که `|a| \leq 1` دارای بی نهایت راه حل است.

فرمول ریشه: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. معادله «cos x=a».

برای `|a|>1` - مانند سینوس، هیچ راه حلی در بین اعداد حقیقی ندارد.

زمانی که `|a| \leq 1` دارای بی نهایت راه حل است.

فرمول ریشه: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

موارد ویژه برای سینوس و کسینوس در نمودارها.

3. معادله `tg x=a`

تعداد بی نهایت راه حل برای هر مقدار «a» دارد.

فرمول ریشه: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. معادله «ctg x=a».

همچنین تعداد بی نهایت راه حل برای هر مقدار «a» دارد.

فرمول ریشه: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

فرمول های ریشه معادلات مثلثاتی در جدول

برای سینوس:
برای کسینوس:
برای مماس و کتانژانت:
فرمول های حل معادلات حاوی توابع مثلثاتی معکوس:

روش های حل معادلات مثلثاتی

حل هر معادله مثلثاتی شامل دو مرحله است:

• با کمک تبدیل آن به ساده ترین.
• ساده ترین معادله به دست آمده را با استفاده از فرمول های ریشه و جداول نوشته شده در بالا حل کنید.

بیایید با استفاده از مثال ها به روش های اصلی راه حل نگاه کنیم.

روش جبری.

این روش شامل جایگزینی یک متغیر و جایگزینی آن با یک برابری است.

مثال. معادله را حل کنید: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`،

جایگزینی ایجاد کنید: «cos(x+\frac \pi 6)=y»، سپس «2y^2-3y+1=0»،

ما ریشه ها را پیدا می کنیم: `y_1=1, y_2=1/2` که دو حالت از آن پیروی می کنند:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

پاسخ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

فاکتورسازی

مثال. معادله "sin x+cos x=1" را حل کنید.

راه حل. بیایید تمام شرایط برابری را به سمت چپ منتقل کنیم: `sin x+cos x-1=0`. با استفاده از، سمت چپ را تبدیل و فاکتورسازی می کنیم:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0"،

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. «cos x/2-sin x/2=0»، «tg x/2=1»، «x/2=arctg 1+ \pi n»، «x/2=\pi/4+ \pi n» ، `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

پاسخ: `x_1=2\pi n`، `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

کاهش به یک معادله همگن

ابتدا باید این معادله مثلثاتی را به یکی از دو شکل کاهش دهید:

«a sin x+b cos x=0» (معادله همگن درجه اول) یا «a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0» (معادله همگن درجه دوم).

سپس هر دو قسمت را بر «cos x \ne 0» - برای مورد اول و بر «cos^2 x \ne 0» - برای مورد دوم تقسیم کنید. ما معادلاتی را برای «tg x» به دست می‌آوریم: «a tg x+b=0» و «a tg^2 x + b tg x +c =0» که باید با استفاده از روش‌های شناخته شده حل شوند.

مثال. معادله "2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1" را حل کنید.

راه حل. بیایید سمت راست را به صورت `1=sin^2 x+cos^2 x` بنویسیم:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -`` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

این یک معادله مثلثاتی همگن درجه دوم است، سمت چپ و راست آن را بر 'cos^2 x \ne 0' تقسیم می کنیم، به دست می آوریم:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

«tg^2 x+tg x — 2=0». بیایید جایگزین «tg x=t» را معرفی کنیم که نتیجه آن «t^2 + t - 2=0» است. ریشه های این معادله «t_1=-2» و «t_2=1» هستند. سپس:

1. «tg x=-2»، «x_1=arctg (-2)+\pi n»، «n \in Z»
2. «tg x=1»، «x=arctg 1+\pi n»، «x_2=\pi/4+\pi n»، «n \in Z».

پاسخ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`، `n \in Z`، `x_2=\pi/4+\pi n`، `n \in Z`.

حرکت به نیم زاویه

مثال. معادله را حل کنید: '11 sin x - 2 cos x = 10'.

راه حل. بیایید فرمول‌های زاویه دوتایی را اعمال کنیم و به این نتیجه می‌رسیم: `22 sin (x/2) cos (x/2) -`` 2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2 =` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

با استفاده از روش جبری که در بالا توضیح داده شد، به دست می آوریم:

1. «tg x/2=2»، «x_1=2 arctg 2+2\pi n»، «n \در Z»،
2. «tg x/2=3/4»، «x_2=arctg 3/4+2\pi n»، «n \in Z».

پاسخ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n، n \in Z`، `x_2=arctg 3/4+2\pi n`، `n \in Z`.

معرفی زاویه کمکی

در معادله مثلثاتی "a sin x + b cos x =c" که در آن a,b,c ضرایب هستند و x یک متغیر است، هر دو طرف را بر "sqrt (a^2+b^2) تقسیم کنید:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.

ضرایب سمت چپ دارای ویژگی های سینوس و کسینوس هستند، یعنی مجموع مربع های آنها برابر با 1 است و ماژول های آنها بزرگتر از 1 نیست. اجازه دهید آنها را به صورت زیر نشان دهیم: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi`, ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`، سپس:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

بیایید نگاهی دقیق تر به مثال زیر بیندازیم:

مثال. معادله "3 sin x+4 cos x=2" را حل کنید.

راه حل. هر دو طرف تساوی را بر 'sqrt (3^2+4^2)' تقسیم کنید، به دست می آوریم:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

«3/5 گناه x+4/5 cos x=2/5».

بیایید "3/5 = cos \varphi"، "4/5=sin \varphi" را نشان دهیم. از آنجایی که `sin \varphi>0`، `cos \varphi>0`، پس "\varphi=arcsin 4/5" را به عنوان یک زاویه کمکی در نظر می گیریم. سپس برابری خود را به شکل زیر می نویسیم:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

با اعمال فرمول مجموع زوایای سینوس، تساوی خود را به شکل زیر می نویسیم:

`sin (x+\varphi)=2/5`،

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

پاسخ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

معادلات مثلثاتی گویا کسری

اینها تساوی با کسری هستند که صورت و مخرج آنها دارای توابع مثلثاتی هستند.

مثال. معادله را حل کنید. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

راه حل. سمت راست تساوی را ضرب و تقسیم بر «(1+cos x)» کنید. در نتیجه دریافت می کنیم:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

با توجه به اینکه مخرج نمی تواند برابر با صفر باشد، «1+cos x \ne 0»، «cos x \ne -1»، «x \ne \pi+2\pi n، n \in Z» به دست می‌آید.

بیایید عدد کسر را با صفر برابر کنیم: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. سپس «sin x=0» یا «1-sin x=0».

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. «1-sin x=0»، «sin x=-1»، «x=\pi /2+2\pi n، n \in Z».

با توجه به اینکه `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`، راه حل ها عبارتند از `x=2\pi n, n \in Z` و `x=\pi /2+2\pi n` ، `n \ در Z`.

پاسخ. «x=2\pi n»، «n \in Z»، «x=\pi /2+2\pi n»، «n \in Z».

مثلثات و به طور خاص معادلات مثلثاتی تقریباً در تمام زمینه های هندسه، فیزیک و مهندسی استفاده می شود. مطالعه از کلاس دهم شروع می شود، همیشه وظایفی برای آزمون یکپارچه دولتی وجود دارد، بنابراین سعی کنید تمام فرمول های معادلات مثلثاتی را به خاطر بسپارید - آنها قطعا برای شما مفید خواهند بود!

با این حال، شما حتی نیازی به حفظ آنها ندارید، نکته اصلی این است که ماهیت را درک کنید و بتوانید آن را استخراج کنید. آنقدرها هم که به نظر می رسد سخت نیست. خودتان با تماشای ویدیو ببینید.