Stellen Sie sich ein Flugzeug vor P und die gerade Linie, die es schneidet . Lassen A - ein beliebiger Punkt im Raum. Durch diesen Punkt ziehen wir eine Gerade , parallel zur Linie . Lassen . Punkt nennt man die Projektion eines Punktes A zum Flugzeug P mit parallelem Design entlang einer vorgegebenen Geraden . Flugzeug P , auf die die Raumpunkte projiziert werden, heißt Projektionsebene.

p - Projektionsebene;

- direktes Design; ;

; ; ;

Orthogonales Design ist ein Sonderfall des parallelen Designs. Orthogonales Design ist ein paralleles Design, bei dem die Designlinie senkrecht zur Projektionsebene verläuft. Orthogonales Design wird häufig im technischen Zeichnen verwendet, wo eine Figur auf drei Ebenen projiziert wird – horizontal und zwei vertikal.

Definition: Orthogonale Projektion eines Punktes M zum Flugzeug P die Basis genannt M 1 aufrecht MM 1, fiel vom Punkt M zum Flugzeug P.

Bezeichnung: , , .

Definition: Orthogonale Projektion einer Figur F zum Flugzeug P ist die Menge aller Punkte der Ebene, die orthogonale Projektionen der Punktmenge der Figur sind F zum Flugzeug P.

Orthogonales Design hat als Sonderfall des parallelen Designs die gleichen Eigenschaften:

p - Projektionsebene;

- direktes Design; ;

1) ;

2) , .

1. Projektionen paralleler Linien sind parallel.

PROJEKTIONSBEREICH EINER FLACHFIGUR

Satz: Die Fläche der Projektion eines ebenen Polygons auf eine bestimmte Ebene ist gleich der Fläche des projizierten Polygons multipliziert mit dem Kosinus des Winkels zwischen der Ebene des Polygons und der Projektionsebene.

Stufe 1: Die projizierte Figur ist ein Dreieck ABC, dessen Seite AC in der Projektionsebene a (parallel zur Projektionsebene a) liegt.

Gegeben:

Beweisen:

Nachweisen:

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. Nach dem Satz der drei Senkrechten;

ВD – Höhe; B 1 D – Höhe;

5. – linearer Winkel des Diederwinkels;

6. ; ; ; ;

Stufe 2: Die projizierte Figur ist ein Dreieck ABC, dessen keine Seite in der Projektionsebene a liegt und nicht parallel zu dieser ist.

Gegeben:

Beweisen:

Nachweisen:

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(Bühne 1);

5. ; ; ;

(Bühne 1);

Bühne: Die entworfene Figur ist ein beliebiges Polygon.

Nachweisen:

Das Polygon wird durch von einem Scheitelpunkt ausgehende Diagonalen in eine endliche Anzahl von Dreiecken unterteilt, für die der Satz gilt. Daher gilt der Satz auch für die Summe der Flächen aller Dreiecke, deren Ebenen mit der Projektionsebene den gleichen Winkel bilden.

Kommentar: Der bewiesene Satz gilt für jede ebene Figur, die von einer geschlossenen Kurve begrenzt wird.

Übungen:

1. Finden Sie die Fläche eines Dreiecks, dessen Ebene in einem Winkel zur Projektionsebene geneigt ist, wenn seine Projektion ein regelmäßiges Dreieck mit der Seite a ist.

2. Finden Sie die Fläche eines Dreiecks, dessen Ebene in einem Winkel zur Projektionsebene geneigt ist, wenn seine Projektion ein gleichschenkliges Dreieck mit einer Seitenlänge von 10 cm und einer Basis von 12 cm ist.

3. Finden Sie die Fläche eines Dreiecks, dessen Ebene in einem Winkel zur Projektionsebene geneigt ist, wenn seine Projektion ein Dreieck mit den Seiten 9, 10 und 17 cm ist.

4. Berechnen Sie die Fläche eines Trapezes, dessen Ebene in einem Winkel zur Projektionsebene geneigt ist, wenn seine Projektion ein gleichschenkliges Trapez ist, dessen größere Basis 44 cm, dessen Seite 17 cm und dessen Diagonale beträgt ist 39 cm.

5. Berechnen Sie die Projektionsfläche eines regelmäßigen Sechsecks mit einer Seitenlänge von 8 cm, dessen Ebene in einem Winkel zur Projektionsebene geneigt ist.

6. Eine Raute mit einer Seitenlänge von 12 cm und einem spitzen Winkel bildet mit einer gegebenen Ebene einen Winkel. Berechnen Sie die Fläche der Projektion der Raute auf diese Ebene.

7. Eine Raute mit einer Seitenlänge von 20 cm und einer Diagonale von 32 cm bildet mit einer gegebenen Ebene einen Winkel. Berechnen Sie die Fläche der Projektion der Raute auf diese Ebene.

8. Die Projektion eines Baldachins auf eine horizontale Ebene ist ein Rechteck mit Seiten und . Finden Sie die Fläche des Baldachins, wenn die Seitenflächen gleiche Rechtecke sind, die in einem Winkel zur horizontalen Ebene geneigt sind, und der mittlere Teil des Baldachins ein Quadrat parallel zur Projektionsebene ist.

11. Übungen zum Thema „Linien und Ebenen im Raum“:

Die Seiten des Dreiecks betragen 20 cm, 65 cm, 75 cm. Vom Scheitelpunkt des größeren Winkels des Dreiecks wird eine Senkrechte von 60 cm zu seiner Ebene gezeichnet die größere Seite des Dreiecks.

2. Von einem Punkt aus, der sich in einem Abstand von cm von der Ebene befindet, werden zwei geneigte Punkte gezeichnet, die mit der Ebene einen Winkel bilden, der gleich ist, und zwischen ihnen einen rechten Winkel. Ermitteln Sie den Abstand zwischen den Schnittpunkten der schiefen Ebenen.

3. Die Seitenlänge eines regelmäßigen Dreiecks beträgt 12 cm. Der Punkt M wird so gewählt, dass die Segmente, die den Punkt M mit allen Eckpunkten des Dreiecks verbinden, Winkel mit seiner Ebene bilden. Ermitteln Sie den Abstand vom Punkt M zu den Eckpunkten und Seiten des Dreiecks.

4. Eine Ebene wird durch die Seite des Quadrats in einem Winkel zur Diagonale des Quadrats gezogen. Finden Sie die Winkel, in denen zwei Seiten des Quadrats zur Ebene geneigt sind.

5. Der Schenkel eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks ist zur Ebene a geneigt, die in einem Winkel durch die Hypotenuse verläuft. Beweisen Sie, dass der Winkel zwischen der Ebene a und der Ebene des Dreiecks gleich ist.

6. Der Diederwinkel zwischen den Ebenen der Dreiecke ABC und DBC ist gleich. Finden Sie AD, wenn AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.

Testfragen zum Thema „Linien und Ebenen im Raum“

1. Listen Sie die Grundkonzepte der Stereometrie auf. Formulieren Sie die Axiome der Stereometrie.

2. Beweisen Sie Konsequenzen aus den Axiomen.

3. Wie ist die relative Position zweier Linien im Raum? Geben Sie Definitionen für sich schneidende, parallele und geneigte Linien an.

4. Beweisen Sie das Vorzeichen von Schräglinien.

5. Wie ist die relative Lage der Linie und der Ebene? Geben Sie Definitionen für sich schneidende, parallele Linien und Ebenen an.

6. Beweisen Sie das Vorzeichen der Parallelität zwischen einer Geraden und einer Ebene.

7. Wie ist die relative Lage der beiden Ebenen?

8. Definieren Sie parallele Ebenen. Beweisen Sie ein Zeichen dafür, dass zwei Ebenen parallel sind. Staatssätze über parallele Ebenen.

9. Definieren Sie den Winkel zwischen geraden Linien.

10. Beweisen Sie das Zeichen der Rechtwinkligkeit einer Geraden und einer Ebene.

11. Definieren Sie die Basis einer Senkrechten, die Basis einer Schräge, die Projektion einer Schräge auf eine Ebene. Formulieren Sie die Eigenschaften einer Senkrechten und geneigten Linien, die von einem Punkt auf eine Ebene fallen.

12. Definieren Sie den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene.

13. Beweisen Sie den Satz über drei Senkrechte.

14. Geben Sie Definitionen des Diederwinkels und des linearen Winkels des Diederwinkels an.

15. Beweisen Sie das Zeichen der Rechtwinkligkeit zweier Ebenen.

16. Definieren Sie den Abstand zwischen zwei verschiedenen Punkten.

17. Definieren Sie den Abstand von einem Punkt zu einer Linie.

18. Definieren Sie den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene.

19. Definieren Sie den Abstand zwischen einer Geraden und einer dazu parallelen Ebene.

20. Definieren Sie den Abstand zwischen parallelen Ebenen.

21. Definieren Sie den Abstand zwischen sich schneidenden Linien.

22. Definieren Sie die orthogonale Projektion eines Punktes auf eine Ebene.

23. Definieren Sie die orthogonale Projektion einer Figur auf eine Ebene.

24. Formulieren Sie die Eigenschaften von Projektionen auf eine Ebene.

25. Formulieren und beweisen Sie einen Satz über die Projektionsfläche eines ebenen Polygons.

Bei Geometrieproblemen hängt der Erfolg nicht nur von der Kenntnis der Theorie ab, sondern auch von einer qualitativ hochwertigen Zeichnung.
Bei flachen Zeichnungen ist alles mehr oder weniger klar. In der Stereometrie ist die Situation jedoch komplizierter. Schließlich ist es notwendig abzubilden dreidimensional Körper an Wohnung Zeichnung, und dass sowohl Sie selbst als auch die Person, die Ihre Zeichnung betrachtet, denselben volumetrischen Körper sehen.

Wie kann man das machen?
Natürlich ist jedes Bild eines volumetrischen Körpers auf einer Ebene bedingt. Allerdings gibt es bestimmte Regeln. Es gibt eine allgemein anerkannte Methode zum Erstellen von Zeichnungen: Parallelprojektion.

Nehmen wir einen volumetrischen Körper.
Lass uns aussuchen Projektionsebene.
Durch jeden Punkt des volumetrischen Körpers zeichnen wir gerade Linien, die parallel zueinander sind und die Projektionsebene in einem beliebigen Winkel schneiden. Jede dieser Linien schneidet irgendwann die Projektionsebene. Und alle zusammen bilden diese Punkte Projektion eines volumetrischen Körpers auf eine Ebene, also sein flaches Bild.

Wie konstruiert man Projektionen volumetrischer Körper?
Stellen Sie sich vor, Sie haben einen Rahmen aus einem volumetrischen Körper – einem Prisma, einer Pyramide oder einem Zylinder. Indem wir es mit einem parallelen Lichtstrahl beleuchten, erhalten wir ein Bild – einen Schatten an der Wand oder auf dem Bildschirm. Beachten Sie, dass aus verschiedenen Blickwinkeln unterschiedliche Bilder erhalten werden, einige Muster jedoch dennoch vorhanden sind:

Die Projektion eines Segments wird ein Segment sein.

Wenn das Segment senkrecht zur Projektionsebene steht, wird es natürlich an einem Punkt angezeigt.

Im allgemeinen Fall ist die Projektion eines Kreises eine Ellipse.

Die Projektion eines Rechtecks ​​ist ein Parallelogramm.

So sieht die Projektion eines Würfels auf eine Ebene aus:

Dabei liegen Vorder- und Rückseite parallel zur Projektionsebene

Sie können es auch anders machen:

Welchen Winkel wir auch wählen, Die Projektionen paralleler Segmente in der Zeichnung sind ebenfalls parallele Segmente. Dies ist eines der Prinzipien der Parallelprojektion.

Wir zeichnen Projektionen der Pyramide,

Zylinder:

Wiederholen wir noch einmal das Grundprinzip der Parallelprojektion. Wir wählen eine Projektionsebene und zeichnen parallele Linien durch jeden Punkt des volumetrischen Körpers. Diese Linien schneiden die Projektionsebene in jedem Winkel. Wenn dieser Winkel 90° beträgt, sprechen wir von rechteckige Projektion. Mithilfe einer rechteckigen Projektion werden Zeichnungen volumetrischer Teile in der Technik erstellt. In diesem Fall sprechen wir von Draufsicht, Vorderansicht und Seitenansicht.

Kapitel IV. Geraden und Flächen im Raum. Polyeder

§ 55. Projektionsfläche eines Polygons.

Erinnern wir uns daran, dass der Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene der Winkel zwischen einer gegebenen Linie und ihrer Projektion auf die Ebene ist (Abb. 164).

Satz. Die Fläche der orthogonalen Projektion eines Polygons auf eine Ebene ist gleich der Fläche des projizierten Polygons multipliziert mit dem Kosinus des Winkels, der durch die Ebene des Polygons und die Projektionsebene gebildet wird.

Jedes Polygon kann in Dreiecke unterteilt werden, deren Flächensumme gleich der Fläche des Polygons ist. Daher reicht es aus, den Satz für ein Dreieck zu beweisen.

Lassen /\ ABC wird auf eine Ebene projiziert R. Betrachten wir zwei Fälle:
a) eine der Parteien /\ ABC ist parallel zur Ebene R;
b) keine Partei /\ ABC ist nicht parallel R.

Lassen Sie uns überlegen erster Fall: sei [AB] || R.

Zeichnen wir eine Ebene durch (AB) R 1 || R und orthogonal entwerfen /\ ABC an R 1 und weiter R(Abb. 165); wir bekommen /\ ABC 1 und /\ ABC".
Durch die Projektionseigenschaft haben wir /\ ABC 1 /\ A"B"C" und daher

S /\ ABC1=S /\ ABC"

Zeichnen wir _|_ und das Segment D 1 C 1 . Dann ist _|_, a = φ der Wert des Winkels zwischen der Ebene /\ ABC und Flugzeug R 1 . Deshalb

S /\ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | CD 1 | cos φ = S /\ ABC cos φ

und deshalb S /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ.

Lassen Sie uns mit der Überlegung fortfahren zweiter Fall. Lass uns ein Flugzeug zeichnen R 1 || Rüber dieser Spitze /\ ABC, der Abstand von dem zum Flugzeug R der kleinste (dies sei der Scheitelpunkt A).
Lass uns entwerfen /\ ABC im Flugzeug R 1 und R(Abb. 166); seien seine Projektionen jeweils /\ AB 1 C 1 und /\ ABC".

Lass (Sonne) P 1 = D. Dann

S /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (S /\ ADC-S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ

Aufgabe. Durch die Grundseite eines regelmäßigen dreieckigen Prismas wird eine Ebene im Winkel φ = 30° zur Grundebene gezogen. Finden Sie die Fläche des resultierenden Querschnitts, wenn die Seite der Basis des Prismas ist A= 6 cm.

Lassen Sie uns den Querschnitt dieses Prismas darstellen (Abb. 167). Da das Prisma regelmäßig ist, stehen seine Seitenkanten senkrecht zur Grundebene. Bedeutet, /\ ABC ist eine Projektion /\ ADC also

GEOMETRIE
Unterrichtspläne für die 10. Klasse

Lektion 56

Thema. Fläche der orthogonalen Projektion eines Polygons

Der Zweck der Lektion: den Satz über die Fläche der orthogonalen Projektion eines Polygons zu studieren und die Fähigkeiten der Schüler bei der Anwendung des erlernten Satzes zur Lösung von Problemen zu entwickeln.

Ausrüstung: stereometrisches Set, Würfelmodell.

Während des Unterrichts

I. Hausaufgaben überprüfen

1. Zwei Schüler reproduzieren Lösungen zu den Aufgaben Nr. 42, 45 an der Tafel.

2. Frontale Befragung.

1) Definieren Sie den Winkel zwischen zwei Ebenen, die sich schneiden.

2) Wie groß ist der Winkel zwischen:

a) parallele Ebenen;

b) senkrechte Ebenen?

3) Innerhalb welcher Grenzen kann sich der Winkel zwischen zwei Ebenen ändern?

4) Stimmt es, dass eine Ebene, die parallele Ebenen schneidet, diese im gleichen Winkel schneidet?

5) Stimmt es, dass eine Ebene, die senkrechte Ebenen schneidet, diese in gleichen Winkeln schneidet?

3. Überprüfung der Richtigkeit der Lösung der Aufgaben Nr. 42, 45, die die Studierenden an der Tafel nachgestellt haben.

II. Wahrnehmung und Bewusstsein für neues Material

Aufgabe für Studierende

1. Beweisen Sie, dass die Projektionsfläche eines Dreiecks, dessen eine Seite in der Projektionsebene liegt, gleich dem Produkt seiner Fläche und dem Kosinus des Winkels zwischen der Ebene des Polygons und der Projektionsebene ist.

2. Beweisen Sie den Satz für den Fall, dass es sich bei einem Gitterdreieck um ein Dreieck handelt, bei dem eine Seite parallel zur Projektionsebene verläuft.

3. Beweisen Sie den Satz für den Fall, dass es sich bei einem Gitterdreieck um ein Dreieck handelt, bei dem keine der Seiten parallel zur Projektionsebene ist.

4. Beweisen Sie den Satz für jedes Polygon.

Probleme lösen

1. Ermitteln Sie die Fläche der orthogonalen Projektion eines Polygons mit einer Fläche von 50 cm2 und einem Winkel zwischen der Ebene des Polygons und seiner Projektion von 60°.

2. Finden Sie die Fläche des Polygons, wenn die Fläche der orthogonalen Projektion dieses Polygons 50 cm2 beträgt und der Winkel zwischen der Ebene des Polygons und seiner Projektion 45° beträgt.

3. Die Fläche des Polygons beträgt 64 cm2 und die Fläche der orthogonalen Projektion beträgt 32 cm2. Finden Sie den Winkel zwischen den Ebenen des Polygons und seiner Projektion.

4. Oder ist die Fläche der orthogonalen Projektion eines Polygons vielleicht gleich der Fläche dieses Polygons?

5. Die Kante eines Würfels ist gleich a. Ermitteln Sie die Querschnittsfläche des Würfels anhand einer Ebene, die in einem Winkel von 30° zu dieser Basis durch die Oberseite der Basis verläuft und alle Seitenkanten schneidet. (Antwort. )

6. Aufgabe Nr. 48 (1, 3) aus dem Lehrbuch (S. 58).

7. Aufgabe Nr. 49 (2) aus dem Lehrbuch (S. 58).

8. Die Seiten des Rechtecks ​​betragen 20 und 25 cm. Seine Projektion auf die Ebene ist ähnlich. Finden Sie den Umfang der Projektion. (Antwort: 72 cm oder 90 cm.)

III. Hausaufgaben

§4, Absatz 34; Testfrage Nr. 17; Probleme Nr. 48 (2), 49 (1) (S. 58).

IV. Zusammenfassung der Lektion

Frage an die Klasse

1) Geben Sie einen Satz über die Fläche der orthogonalen Projektion eines Polygons an.

2) Kann die Fläche der orthogonalen Projektion eines Polygons größer sein als die Fläche des Polygons?

3) Durch die Hypotenuse AB eines rechtwinkligen Dreiecks ABC wird eine Ebene α in einem Winkel von 45° zur Dreiecksebene und eine Senkrechte CO zur Ebene α gezogen. AC = 3 cm, BC = 4 cm. Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen richtig und welche falsch sind:

a) der Winkel zwischen den Ebenen ABC und α ist gleich dem Winkel SMO, wobei Punkt H die Basis der Höhe CM des Dreiecks ABC ist;

b) CO = 2,4 cm;

c) Dreieck AOC ist eine orthogonale Projektion des Dreiecks ABC auf die Ebene α;

d) Die Fläche des Dreiecks AOB beträgt 3 cm2.

(Antwort: a) Richtig; b) falsch; c) falsch; d) richtig.)

Detaillierter Beweis des Satzes der orthogonalen Polygonprojektion

If ist die Projektion einer Wohnung N -gon zu einer Ebene, wo ist dann der Winkel zwischen den Ebenen der Polygone und. Mit anderen Worten, die Projektionsfläche eines ebenen Polygons ist gleich dem Produkt aus der Fläche des projizierten Polygons und dem Kosinus des Winkels zwischen der Projektionsebene und der Ebene des projizierten Polygons.

Nachweisen. ICH Bühne. Führen wir den Beweis zunächst für ein Dreieck durch. Betrachten wir 5 Fälle.

1 Fall. liegen in der Projektionsebene .

Seien jeweils die Projektionen von Punkten auf die Ebene. In unserem Fall. Nehmen wir das an. Sei die Höhe, dann können wir aus dem Satz der drei Senkrechten schließen, dass - die Höhe (- die Projektion der Neigung, - ihre Basis und die Gerade durch die Basis der Neigung gehen, und).

Lassen Sie uns überlegen. Es ist rechteckig. Per Definition des Kosinus:

Andererseits ist da und per Definition der lineare Winkel des Diederwinkels, der durch die Halbebenen der Ebenen und mit der Grenzgeraden gebildet wird, und daher ist sein Maß auch das Maß des Winkels zwischen den Ebenen der Projektion des Dreiecks und des Dreiecks selbst, das heißt.

Finden wir das Verhältnis von Fläche zu:

Beachten Sie, dass die Formel auch dann wahr bleibt, wenn. In diesem Fall

Fall 2. Liegt nur in der Projektionsebene und ist parallel zur Projektionsebene .

Seien jeweils die Projektionen von Punkten auf die Ebene. In unserem Fall.

Zeichnen wir eine gerade Linie durch den Punkt. In unserem Fall schneidet die Gerade die Projektionsebene, was nach dem Lemma bedeutet, dass die Gerade auch die Projektionsebene schneidet. Sei es am Punkt Da, dann liegen die Punkte in derselben Ebene, und da sie parallel zur Projektionsebene ist, folgt daraus aufgrund des Vorzeichens der Parallelität der Linie und der Ebene diese. Es handelt sich also um ein Parallelogramm. Betrachten wir und. Sie sind auf drei Seiten gleich (die gemeinsame Seite ist wie die gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms). Beachten Sie, dass ein Viereck ein Rechteck ist und gleich ist (auf dem Bein und der Hypotenuse), also auf drei Seiten gleich. Deshalb.

Für anwendbaren Fall 1: , d. h.

Fall 3. Liegt nur in der Projektionsebene und ist nicht parallel zur Projektionsebene .

Der Punkt sei der Schnittpunkt der Geraden mit der Projektionsebene. Beachten Sie, dass und. In einem Fall: i. So verstehen wir das

Fall 4 Die Eckpunkte liegen nicht in der Projektionsebene . Schauen wir uns die Senkrechten an. Nehmen wir die kleinste dieser Senkrechten. Lass es senkrecht sein. Es kann sich herausstellen, dass es entweder nur oder nur ist. Dann nehmen wir es trotzdem.

Lassen Sie uns einen Punkt von einem Punkt auf einem Segment, also dem, und von einem Punkt auf einem Segment, einem Punkt, also dem, beiseite legen. Diese Konstruktion ist möglich, weil es sich um die kleinste der Senkrechten handelt. Beachten Sie, dass es sich konstruktionsbedingt um eine Projektion von und handelt. Beweisen wir das und sind gleich.

Betrachten Sie ein Viereck. Nach der Bedingung - Senkrechte zu einer Ebene, also nach dem Satz, also. Aufgrund der Konstruktion und der Eigenschaften eines Parallelogramms (durch parallele und gleiche gegenüberliegende Seiten) können wir schließen, dass es sich um ein Parallelogramm handelt. Bedeutet, . Ebenso ist bewiesen, dass . Daher sind und auf drei Seiten gleich. Deshalb. Beachten Sie, dass und als gegenüberliegende Seiten von Parallelogrammen, basierend auf der Parallelität der Ebenen, . Da diese Ebenen parallel sind, bilden sie mit der Projektionsebene den gleichen Winkel.

Es gelten die vorherigen Fälle:.

Fall 5. Die Projektionsebene schneidet die Seiten . Schauen wir uns gerade Linien an. Sie stehen senkrecht zur Projektionsebene, sind also nach dem Theorem parallel. Auf gleichgerichteten Strahlen mit Ursprüngen in Punkten zeichnen wir jeweils gleiche Segmente ein, sodass die Scheitelpunkte außerhalb der Projektionsebene liegen. Beachten Sie, dass es sich konstruktionsbedingt um eine Projektion von und handelt. Zeigen wir, dass es gleich ist.

Seitdem und, konstruktionsbedingt, dann. Gemäß der Eigenschaft eines Parallelogramms (auf zwei gleichen und parallelen Seiten) handelt es sich daher um ein Parallelogramm. Es wird auf ähnliche Weise bewiesen, dass und Parallelogramme sind. Aber dann sind und (als gegenüberliegende Seiten) also auf drei Seiten gleich. Bedeutet, .

Darüber hinaus und daher basierend auf der Parallelität der Ebenen. Da diese Ebenen parallel sind, bilden sie mit der Projektionsebene den gleichen Winkel.

Für anwendbaren Fall 4:.

II Bühne. Teilen wir ein flaches Polygon mithilfe von Diagonalen, die vom Scheitelpunkt ausgehen, in Dreiecke auf: Dann gilt gemäß den vorherigen Fällen für Dreiecke: .

Q.E.D.