Atsitiktinių dydžių nustatymo metodai. Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis. Problemų sprendimo pavyzdžiai Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių skaitmeninės charakteristikos

Bernulio formulė (konkreti teorema apie eksperimentų kartojimą)

23 pavyzdys

Yra trys loterijos bilietai. Tikimybė laimėti bet kurį bilietą yra vienoda ir lygi R. Tikimybė, kad bilietas nelaimės q = 1 – p– kaip priešingo įvykio tikimybę. Nustatykite tikimybę, kad iš trijų bilietų laimės lygiai du.

Norimą tikimybę pažymime .

Mus dominantis įvykis įvyks, jei laimės pirmas IR antras bilietas IR trečias nelaimi ARBA pirmasis bilietas nelaimi IR antras IR trečias laimės ARBA antrasis bilietas nelaimi IR pirmas IR trečias laimi . Kiekvienos iš šių parinkčių tikimybę galima rasti naudojant daugybos formulę, o atsakymas apskaičiuojamas naudojant nesuderinamų įvykių pridėjimo formulę:

= ppq + qpp + pqp = 3p 2 q.

Analizuodami problemos sprendimą, sužinome, kad ji buvo išspręsta tokia tvarka:

Surinkti įvairūs dominančio renginio įgyvendinimo variantai;

Suskaičiuojamas šių variantų skaičius;

Nustatoma įvykio tikimybė, įgyvendinus bet kurį variantą;

Reikiama tikimybė randama įvykio tikimybę įvykti pagal vieną iš variantų padauginus iš bendro variantų skaičiaus.

Tiesą sakant, problema buvo išspręsta naudojant vadinamąjį Bernulio formulė. Parašykime tai bendra forma.

Tegul serija n eksperimentai (testai). Eksperimentai atliekami pakartotinai, nepriklausomai vienas nuo kito ir tomis pačiomis sąlygomis, kad būtų nustatyta įvykio tikimybė A nesikeičia iš patirties į patirtį ir yra lygus R. Pažymime tikimybę, kad įvykis neįvyks A viename eksperimente - q = 1 p. Būtina nustatyti tikimybę, kad serijoje n patirčių renginys A pasikartos k kartų – pažymėkime šį įvykį kaip IN.

Renginys IN galima atlikti įvairiais būdais (parinktys). Pavyzdžiui, taip:

arba taip:

Svarbu, kad bet kuriame variante būtų įvykio įvykių skaičius A lygus n, ir įvykio atvejų skaičių lygus n–k, nors jie bus rodomi ir nebus rodomi skirtingose ​​versijose skirtingomis sekomis.

Norėdami nustatyti tokių parinkčių skaičių, galite naudoti formulę kombinatorika- derinių skaičius n elementai pagal k.

Deriniai – tai deriniai k objektai (elementai), parinkti iš tam tikro rinkinio n objektai, kuriuose yra tiek pat objektų, bet skiriasi vienas nuo kito bent vienu iš jų.

Derinių skaičius n elementai pagal kžymimas taip, kaip galima rasti pagal formulę: = . (15)

Svarbi kombinacijų skaičiaus nustatymo savybė yra tokia:

Nagrinėjamoje užduotyje elementai, kurie skiriasi vienas nuo kito, yra eksperimentų skaičius. Bendras parinkčių skaičius yra lygus .

Įvykio atsiradimo tikimybė A n kiekvienos parinkties laikas yra vienodas ir jį galima rasti naudojant tikimybių dauginimo formulę, pagrįstą fraze „Įvykis A k niekada neįvyko n–k kartą": p k q n - k

Susumavus šias identiškas tikimybes, gauname formulę, vadinamą Bernulio formulė:

=p k q n - k . (16)

Reikia atsiminti, kad p yra atsiradimo tikimybė mus dominantis įvykis patirtimi ir q – nepasirodymo tikimybė šis įvykis patirtyje.

Bernoulli formulė (Jacob Bernoulli ją tyrinėjo savo knygoje „Spėjimo menas“) taip pat vadinama privatus teorema apie eksperimentų kartojimą. Tai reiškia, kad kiekvienas paskesnis eksperimentas atliekamas tokiomis pačiomis sąlygomis kaip ir visi ankstesni, t.y. įvykio įvykimo tikimybė nuo eksperimento iki eksperimento nekinta ir išlieka lygi R.

Kartu su privačia yra bendroji teorema apie eksperimentų kartojimą (tikimybę, kad įvykis pasikeis iš eksperimento į eksperimentą), kurių svarstymas nepatenka į šio kurso sritį.

24 pavyzdys

Dirbtuvėse yra 10 elektros variklių, kurių kiekvieno išjungimo tikimybė yra 0,1 Varikliai prijungti prie tinklo nepriklausomai vienas nuo kito. Nustatykite tikimybę, kad trys elektros varikliai bus išjungti vienu metu.

Sprendimas. Problemos būklė atitinka J. Bernoulli kartotinių bandymų schemą. Uždavinį sprendžiame naudodami specialią kartotinių eksperimentų teoremą, atsižvelgdami į tai, kad yra trys išjungti varikliai (išjungimo tikimybė yra 0,1), o įjungti - 7 (įjungimo tikimybė lygi 0,9):

=p 3 q 10-3=q 3 (1-q) 10-3 =120 ∙ (0,1) 3 ∙ (0,9) 7 = 0,0574.

Atsitiktiniai dydžiai ir jų pasiskirstymo dėsniai

Be atsitiktinių įvykių, kita svarbi tikimybių teorijos sąvoka yra „atsitiktinio kintamojo“ (RV) sąvoka.

Didumas yra kiekybinė eksperimento rezultato charakteristika.

Visi kiekiai skirstomi į dvi dideles grupes: neatsitiktinius ir atsitiktinius.

Neatsitiktinis (deterministinis) - tai yra dydžiai, kurie dėl patirties įgyja iš anksto nustatytą, žinomą vertę. Pavyzdžiui, saulėtekio ir saulėlydžio laikas, naujųjų metų data, pirštų skaičius ant naujagimio rankų, egzaminų ir įskaitų skaičius per semestrą.

Atsitiktinis (stochastinis)- tai yra kiekiai, kurių vertė iš anksto nežinoma, kokią vertę jie įgis po eksperimento.

Atsitiktiniai kintamieji savo ruožtu gali būti atskiri arba tęstiniai.

Diskretus yra tie SV, kurie patirtimi įgauna vieną iš daugelio galimų reikšmių, ir šios reikšmės, jei pageidaujama, gali būti išvardytos arba sunumeruotos, t.y. šis rinkinys yra baigtinis. Dažniausiai (nors nebūtinai) tai yra sveikosios, neneigiamos reikšmės. Pavyzdžiui, O mokinio balas už egzaminą; plaukų skaičius ant galvos, darbuotojų skaičius ED ceche.

Nuolatinis jie vadina tokias SV, kurios pagal patirtį ima vieną iš galimų reikšmių, o šių reikšmių skaičius net ir labai mažu intervalu yra be galo didelis. Kitaip tariant, galimų tęstinio SV verčių rinkinys yra nesuskaičiuojamas. Pavyzdžiui, įtampos lygis tinkle, elektros linijos veikimo trukmė iki gedimo, žmogaus ūgis ir svoris, plunksnakočio svoris.

Atsitiktinių dydžių pavadinimai paprastai žymimas didžiosiomis raidėmis Lotynų abėcėlė - X, Y; A vertybes , kuriuos atsitiktinius dydžius paima eksperimente, – mažosios raidės - x, y.

Skirtingos to paties atsitiktinio dydžio reikšmės stebimos ne vienodai dažnai. Pavyzdžiui, vyrai kur kas dažniau avi 42 dydžio batus nei 46; Tinklo įtampa yra daug dažniau 215–225 V nei 225–235 V.

Atsitiktinių dydžių verčių ir jų atsiradimo tikimybių ryšį nustato atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis. Sako, kad SV platinamas (pagal vieną ar kitą platinimo dėsnį). Yra keletas paskirstymo įstatymo patikslinimo formų:

· lentelės pavidalu (lentelės);

· piešinio pavidalu (grafiškai);

formulė (analitiškai).

Atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnių patikslinimo metodai

Visus SW skirstinio dėsnių patikslinimo būdus galima sąlygiškai suskirstyti į teorinius ir statistinius. Teoriniai dėsniai pasiskirstymai atspindi tikrus gamtoje egzistuojančius dėsnius. Norint juos nustatyti, pagal didelių skaičių dėsnį, reikia apdoroti beveik begalinį informacijos kiekį. Praktikoje tokie įstatymai yra nustatomi remiantis ribotu statistinių duomenų kiekiu ir yra įforminami vienokių ar kitokių statistiniai būdai. Statistika dažnai vadinama eksperimentinis (empirinis)). Kiekvienas teorinis skirstymo dėsnio (DLR) patikslinimo metodas turi statistinių analogijų (STL). Panagrinėkime šiuos metodus.

TZR-1. SV paskirstymo serija

Paskirstymo eilutė yra lentelė, kurioje, viena vertus, nurodomos atsitiktinio dydžio reikšmės, kita vertus, jų tikimybės (2 lentelė). Paskirstymo serijose SV reikšmės yra išdėstytos tvarkingai - joms didėjant.

Bendra šių verčių tikimybė, lygi vienetui, yra padalinta tarp visų galimų SV verčių. Todėl visų pasiskirstymo eilučių tikimybių suma yra lygi vienetui: = 1

2 lentelė. SV pasiskirstymo serija

Diskretaus atsitiktinio dydžio nustatymo metodai nėra bendri – jie netaikomi, pavyzdžiui, nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams. Iš tiesų, tegul galimos atsitiktinio dydžio X reikšmės visiškai užpildo intervalą (a;b). Ar įmanoma išvardyti visas galimas X reikšmes? Nr. Mums reikia bendro būdo nurodyti bet kokio tipo atsitiktinius kintamuosius. Šiuo tikslu įvedamos atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo funkcijos.

Pasiskirstymo funkcija Pasiskirstymo funkcija yra funkcija F(x), kuri nustato tikimybę, kad atsitiktinis dydis X bandymo rezultatu įgis mažesnę nei x reikšmę, t.y. F(x) = P(X

X 1. 3. 3. Tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis įgis gautą reikšmę" title="Paskirstymo funkcijos savybės 1. 1. Pasiskirstymo funkcijos reikšmės priklauso segmentui: 0 F (x) 1. 2. 2. F (x) yra nemažėjanti funkcija, t. y. F(x 2) F(x 1), jei x 2 > x 1. 3. 3. Tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis bus imti vertė yra sudaryta" class="link_thumb"> 4 !} Pasiskirstymo funkcijos ypatybės Pasiskirstymo funkcijos reikšmės priklauso atkarpai: 0 F(x) F(x) yra nemažėjanti funkcija, t.y. F(x 2) F(x 1), jei x 2 > x Tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis įgis reikšmę, esančią intervale (a;b), lygi paskirstymo funkcijos prieaugiui šiame intervale: P (a x 1. 3. 3. Tikimybė, kad atsitiktinis dydis įgis reikšmę, esančią "> x 1. 3. 3. Tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis įgis reikšmę, esančią intervale (a; b), yra lygi pasiskirstymo funkcijos prieaugis šiame intervale: P (a"> x 1. 3. 3. Tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis įgis gautą reikšmę" title="Paskirstymo funkcijos savybės 1. 1. Pasiskirstymo funkcijos reikšmės priklauso intervalui: 0 F( x) 1. 2. 2. F(x) – nemažėjanti funkcija, t.y. F(x 2) F(x 1), jei x 2 > x 1. 3. 3. Tikimybė, kad atsitiktinis dydis įgis reikšmę, padaryta išvada"> title="Pasiskirstymo funkcijos savybės 1. 1. Pasiskirstymo funkcijos reikšmės priklauso segmentui: 0 F(x) 1. 2. 2. F(x) yra nemažėjanti funkcija, t.y. F(x 2) F(x 1), jei x 2 > x 1. 3. 3. Tikimybė, kad atsitiktinis dydis įgis reikšmę, daroma išvada"> !}

1 pavyzdys. Atsitiktinis dydis X pateikiamas pasiskirstymo funkcija 0 ties x -1 F(x) = x/4+1/4 ties Raskite tikimybę, kad atlikus testą X įgis intervalui priklausančią reikšmę (0;2): P(0

4. 4. Tikimybė, kad ištisinis atsitiktinis dydis X įgis vieną konkrečią reikšmę, yra 0. Taigi, prasminga atsižvelgti į tikimybę, kad atsitiktinis dydis pateks į intervalą, net ir mažą. Pavyzdžiui, juos domina tikimybė, kad detalių matmenys neperžengs leistinų ribų, tačiau nekelia klausimo dėl jų sutapimo su projektiniu dydžiu tikimybės.

Tačiau klaidinga manyti, kad tikimybės lygybė P(X=x 1) su 0 reiškia, kad įvykis X=x 1 yra neįmanomas (jei neapsiribosime tik klasikiniu tikimybės apibrėžimu). Testo rezultate atsitiktinis dydis būtinai įgis vieną iš galimų reikšmių; ypač ši vertė gali būti lygi x 1.

5. 5. Jei galimos atsitiktinio dydžio reikšmės priklauso intervalui (a;b), tai 1) F(x) = 0 x a; 2) F(x) = 1 ties x b. ] Jei galimos ištisinio atsitiktinio dydžio reikšmės yra visoje x ašyje, galioja šie ribiniai ryšiai: Lim F(x) = 0; Lim F(x) = 1. x- x+

Tolydinio atsitiktinio dydžio tikimybių tankio skirstinys Tolydinio atsitiktinio dydžio nustatymo metodas, naudojant pasiskirstymo funkciją, nėra vienintelis. Nuolatinis atsitiktinis dydis taip pat gali būti nurodytas naudojant kitą funkciją, kuri vadinama pasiskirstymo tankiu arba tikimybės tankiu (kartais vadinama diferencine funkcija).

Ištisinio atsitiktinio dydžio X tikimybių pasiskirstymo tankis vadinamas funkcija f(x) – pirmąja pasiskirstymo funkcijos F(x) išvestine: f(x) = F"(x). Vadinasi, pasiskirstymo funkcija yra antidarinė. pasiskirstymo tankio.

π/2. Raskite pasiskirstymo tankį f(x). 0 ties x π/2." title="Pavyzdys. Duota nuolatinio atsitiktinio dydžio X 0 pasiskirstymo funkcija ties x 0 F(x) = sinx ties 0 π/2. Raskite pasiskirstymo tankį f(x) 0 prie x π/2." class="link_thumb"> 18 !} Pavyzdys. Duota nuolatinio atsitiktinio dydžio X 0 pasiskirstymo funkcija, kai x 0 F(x) = sinx, kai 0 π/2. Raskite pasiskirstymo tankį f(x). 0 ties x π/2. π/2. Raskite pasiskirstymo tankį f(x). 0 ties x π/2."> π/2. Raskite pasiskirstymo tankį f(x). 0 ties x π/2."> π/2. Raskite pasiskirstymo tankį f(x). 0 ties x π/2." title="Pavyzdys. Duota nuolatinio atsitiktinio dydžio X 0 pasiskirstymo funkcija ties x 0 F(x) = sinx ties 0 π/2. Raskite pasiskirstymo tankį f(x) 0 ties x π/2."> (x) = cosx при 0 π/2." title="Pavyzdys. Duota nuolatinio atsitiktinio dydžio X 0 pasiskirstymo funkcija, kai x 0 F(x) = sinx esant 0 π/2. Raskite pasiskirstymo tankį f(x). 0 ties x π/2."> !}

Pasiskirstymo tankio savybės Pasiskirstymo tankis yra neneigiama funkcija: f(x) 0. Pasiskirstymo tankio grafikas vadinamas pasiskirstymo kreive Netinkamasis pasiskirstymo tankio integralas diapazone nuo - iki lygus 1. f(x )dx = 1. -

Pasiskirstymo tankio tikimybinė reikšmė Funkcija f(x) nustato kiekvieno taško x tikimybių pasiskirstymo tankį. Pakankamai mažam x. F(x + x) – F(x) f(x)x. Nes skirtumas F(x + x) - F(x) lemia (žr. aukščiau) tikimybę, kad X įgis reikšmę, priklausančią intervalui (x; x + x), tada ši tikimybė yra maždaug lygi tikimybės tankis t x intervalo ilgiu.

Kaip žinoma, atsitiktinis kintamasis vadinamas kintamu dydžiu, kuris, priklausomai nuo atvejo, gali įgyti tam tikras reikšmes. Atsitiktiniai kintamieji žymimi lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis (X, Y, Z), o jų reikšmės – atitinkamomis mažosiomis raidėmis (x, y, z). Atsitiktiniai kintamieji skirstomi į nenutrūkstamus (diskretuosius) ir tęstinius.

Diskretus atsitiktinis dydis yra atsitiktinis kintamasis, kuris ima tik baigtinę arba begalinę (skaičiuojamą) reikšmių rinkinį su tam tikromis nulinėmis tikimybėmis.

Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis yra funkcija, jungianti atsitiktinio dydžio reikšmes su atitinkamomis tikimybėmis. Paskirstymo dėsnį galima nurodyti vienu iš šių būdų.

1 . Paskirstymo dėsnį galima pateikti pagal lentelę:

kur λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) naudojant pasiskirstymo funkcija F(x) , kuri kiekvienai reikšmei x nustato tikimybę, kad atsitiktinis dydis X įgis mažesnę nei x reikšmę, t.y. F(x) = P(X< x).

Funkcijos F(x) savybės

3 . Paskirstymo dėsnį galima nurodyti grafiškai – paskirstymo daugiakampis (daugiakampis) (žr. 3 uždavinį).

Atkreipkite dėmesį, kad norint išspręsti kai kurias problemas, nebūtina žinoti paskirstymo dėsnio. Kai kuriais atvejais pakanka žinoti vieną ar kelis skaičius, atspindinčius svarbiausias skirstymo dėsnio ypatybes. Tai gali būti skaičius, turintis atsitiktinio dydžio „vidutinę reikšmę“, arba skaičius, rodantis vidutinį atsitiktinio dydžio nuokrypio nuo jo vidutinės vertės dydį. Tokio tipo skaičiai vadinami atsitiktinio dydžio skaitinėmis charakteristikomis.

Pagrindinės skaitinės diskretinio atsitiktinio dydžio charakteristikos :

• Matematinis lūkestis (vidutinė reikšmė) diskretinio atsitiktinio dydžio M(X)=Σ x i p i.
  Binominiam skirstiniui M(X)=np, Puasono skirstiniui M(X)=λ
• Sklaida diskrečiųjų atsitiktinių dydžių D(X)=M2 arba D(X) = M(X 2)− 2. Skirtumas X–M(X) vadinamas atsitiktinio dydžio nuokrypiu nuo jo matematinio lūkesčio.
  Dvinominiam skirstiniui D(X)=npq, Puasono skirstiniui D(X)=λ
• Standartinis nuokrypis (standartinis nuokrypis) σ(X)=√D(X).

Problemų sprendimo pavyzdžiai tema „Diskrečiojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis“

1 užduotis.

Buvo išleista 1000 loterijos bilietų: 5 iš jų laimės 500 rublių, 10 laimės 100 rublių, 20 laimės 50 rublių, 50 laimės 10 rublių. Nustatykite atsitiktinio dydžio X – laimėjimai už bilietą – tikimybių pasiskirstymo dėsnį.

Sprendimas. Atsižvelgiant į problemos sąlygas, galimos šios atsitiktinio dydžio X reikšmės: 0, 10, 50, 100 ir 500.

Bilietų skaičius be laimėjimo yra 1000 – (5+10+20+50) = 915, tada P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Panašiai randame ir visas kitas tikimybes: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X) =500) = 5/1000=0,005. Pateikiame gautą dėsnį lentelės pavidalu:

Raskime matematinę reikšmės X lūkesčius: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

3 užduotis.

Prietaisas susideda iš trijų nepriklausomai veikiančių elementų. Kiekvieno elemento gedimo tikimybė viename eksperimente yra 0,1. Sudarykite vieno eksperimento nepavykusių elementų skaičiaus pasiskirstymo dėsnį, sukonstruokite skirstinio daugiakampį. Raskite pasiskirstymo funkciją F(x) ir nubraižykite ją. Raskite diskretinio atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius, dispersiją ir standartinį nuokrypį.

Sprendimas. 1. Diskretusis atsitiktinis kintamasis X = (nepavykusių elementų skaičius viename eksperimente) turi šias galimas reikšmes: x 1 = 0 (nė vienas įrenginio elementas nepavyko), x 2 = 1 (vienas elementas nepavyko), x 3 = 2 ( du elementai nepavyko ) ir x 4 =3 (trijų elementų nepavyko).

Elementų gedimai nepriklauso vienas nuo kito, kiekvieno elemento gedimo tikimybė yra vienoda, todėl taikytina Bernulio formulė . Atsižvelgiant į tai, kad pagal sąlygą n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, nustatome reikšmių tikimybes:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Patikrinkite: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Taigi norimas X dvinario skirstinio dėsnis turi tokią formą:

Galimas x i reikšmes nubraižome išilgai abscisių ašies, o atitinkamas tikimybes p i išilgai ordinačių ašies. Sukonstruokime taškus M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Šiuos taškus sujungę tiesių linijų atkarpomis, gauname norimą skirstymo daugiakampį.

3. Raskime skirstinio funkciją F(x) = Р(Х

Jei x ≤ 0, turime F(x) = Р(Х<0) = 0;
už 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
už 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
už 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
jei x > 3 bus F(x) = 1, nes renginys patikimas.

Funkcijos F(x) grafikas

4. Binominiam skirstiniui X:
- matematinė lūkestis M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersija D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standartinis nuokrypis σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

„Tikimybių teorija mokykloje“ – sudėtingi įvykiai. Keli bandymai. Savavališkas elementarių įvykių erdvės poaibis. Tikimybė. Tam tikros sąlygų visumos įgyvendinimas. Nepriklausomi renginiai. Tikimybių daugybos teorema. Produkto taisyklė. Labiausiai tikėtinas įvykio įvykių skaičius. Teorema nesuderinamų įvykių tikimybių pridėjimui.

„Atsitiktinio įvykio tikimybė“ – elementarūs įvykiai. Simetriška moneta metama du kartus. Vieno kauliuko metimas. Elementarūs atsitiktinio eksperimento įvykiai. Tikimybių suma. Palankūs elementarūs įvykiai. Šaulys. Futbolo rungtynės. Elementarių įvykių lentelė. Kai mesti sąžiningą monetą. Lygiai taip pat galimi elementarūs įvykiai.

„Tikimybių sudėjimas ir daugyba“ – tikimybių daugybos ir sudėjimo teoremos. Tikimybė, kad įvyks bent vienas įvykis. Ypatingas atvejis. Nepriklausomi renginiai. Daugybos teorema. Bendrosios tikimybės formulė. Tikimybių sudėjimo teorema. Tikimybės pataikyti į taikinį. Tikimybių daugybos teorema. Kiekvienas įvykis. Sąlyginė tikimybė.

„Tikimybių teorija egzaminui“ – tikimybė, kad surinktų taškų suma yra 6. Toss. Palankus įvykis A. Produkto taisyklė (daugybos taisyklė). Krepšyje yra 2 juodi ir 3 balti kamuoliukai. Skirtumas tarp permutacijų, vietų, derinių. Įvykio tikimybė. Mokomieji ir metodiniai vadovai. Skaičius, parašytas viduryje.

„Įvykio tikimybė“ – natūralusis skaičius. Įvykio tikimybės nustatymas. Eksperimentuokite. Tikimybių vertinimo galimybė. Deriniai. Tikimybė. Vieta. Priešingo įvykio tikimybė. Įvykio tikimybė. Bylų skaičius. Kombinatorikos elementai. Elementų skaičius. Tikimybių teorijos elementai. Statistinis įvykių tikimybės nustatymas.

„Atsitiktinis kintamasis“ – Bernulio formulė. Siauras stačiakampis. Norėdami sukurti pasiskirstymo funkciją, apskaičiuojame keletą jos reikšmių. Paskirstymo funkcija yra nemažėjanti funkcija. SV pasiskirstymo dėsnis yra bet koks santykis. Užduotis. Atsitiktinis kintamasis (SV). Skirtingi SV reikšmių intervalai. Funkcija tarsi apibūdina tankį, kuriuo SW pasiskirsto.

Iš viso temoje yra 23 pranešimai

Rizikos situacijoje žinome vienos ar kitos alternatyvos pasekmes ir tikimybes, su kuriomis šie padariniai gali atsirasti. Tai yra, mes žinome rezultatų tikimybių pasiskirstymą, todėl juos galima pavaizduoti (modeliuoti) formoje atsitiktinis kintamasis. Šiame skyriuje priminsime informaciją iš tikimybių teorijos apie atsitiktinius dydžius ir jų nustatymo metodus, kurie bus reikalingi tolesniam knygos medžiagos tyrimui.

Pagal klasikinį apibrėžimą, atsitiktinis dydis yra dydis, kurio vertė gali atsitiktinai skirtis priklausomai nuo eksperimento. Tai reiškia, kad kiekviename „bandyme“ gali būti paimta viena reikšmė iš tam tikro rinkinio. Tačiau tiksliai nuspėti, kokią vertę tai įgis, neįmanoma.

Atsitiktiniai dydžiai skirstomi į diskrečius ir tęstinius. Atskiras SV gali turėti tik baigtinę arba skaičiuojamą reikšmių rinkinį. Nuolatinis SV gali įgyti bet kokią reikšmę iš uždaro arba atviro intervalo, įskaitant begalinį.

3.2.2. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis

Atsitiktinis dydis nustatomas pagal jo pasiskirstymo dėsnį. Paskirstymo dėsnis laikomas nurodytu, jei:

• atsitiktinio dydžio galimų reikšmių rinkinys (įskaitant begalinį) ir
• tikimybė, kad atsitiktinis dydis pateks į savavališką šios aibės sritį, arba dėsnis (formulė), leidžiantis apskaičiuoti tokią tikimybę.

Iš esmės tikimybė yra rodiklis, apibūdinantis atsitiktinio dydžio atsiradimo tam tikroje srityje galimybę.

Pats bendriausias ir labiausiai paplitęs būdas nustatyti įvairių atsitiktinio dydžio reikšmių tikimybes yra nurodyti tikimybių pasiskirstymo funkcijos, kuris sutrumpintas kaip paskirstymo funkcija.

Atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkcija yra funkcija F(x), kuri nurodo tikimybę, kad SV įgis reikšmę, mažesnę už konkrečią reikšmę x, tai yra:

F(x) = P(X< x)

X („x didelis“) – žymi atsitiktinį kintamąjį,

x („x mažas“) yra konkreti reikšmė iš galimų atsitiktinio dydžio reikšmių rinkinio.

Paskirstymo funkcija nemažėja. Kadangi x linkęs į minus begalybę, jis linkęs į nulį, o kaip x linkęs į plius begalybę, jis linkęs į vienetą.

Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnio vaizdavimo forma gali būti skirtinga ir priklauso nuo to, ar tai diskretinis, ar tęstinis atsitiktinis dydis.

Iš paskirstymo funkcijos apibrėžimo kyla šios priklausomybės:

tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis įgis reikšmes intervale nuo a iki b:

P(a ≤ X< b) = F(b) - F(a)

tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis įgis ne mažesnes nei a:

3.2.3. Diskretaus atsitiktinio dydžio pasiskirstymo vaizdavimo būdai

Diskretus atsitiktinis dydis gali būti visiškai nurodyta jo paskirstymo funkcija arba skirstinio serija (lentelė). Jie gali būti pateikiami lentelėse, analitinėmis arba grafinėmis formomis.

Tarkime, kad atsitiktinis dydis X gali turėti tris galimas reikšmes 25, 45 ir 50, kurių tikimybė yra atitinkamai 25%, 35% ir 40%. Šio SV platinimo serija atrodys taip:

To paties atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija, parodanti tikimybę neviršyti konkrečios reikšmės, gali būti užrašoma taip:

3.1 paveiksle pavaizduoti grafiniai šio diskrečiojo atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnio patikslinimo metodai.

3.1 pav.

Tikimybių pasiskirstymo eilutės p j grafike kiekvienos galimos reikšmės x j realizacijos pavaizduotos stulpeliais, kurių aukštis lygus tikimybei. Visų M juostų aukščių suma (ty visų tikimybių) yra lygi vienetui, nes jos apima visas galimas x reikšmes:

Kartais vietoj strypų nubrėžiama trūkinė linija, jungianti tikimybes realizuoti SV vertes.

Tikimybė, kad diskrečiojo atsitiktinio dydžio reikšmė bus mažesnė už a, yra lygi visų rezultatų, mažesnių už a, tikimybių sumai:

Pagal apibrėžimą tai yra lygi skirstymo funkcijos reikšmei taške x = a. Jei koordinačių plokštumoje nubraižome pasiskirstymo funkcijos reikšmes, kai x „pereina“ visas reikšmes nuo minus begalybės iki plius begalybės, gauname pasiskirstymo funkcijos grafiką. Atskirai SV jis yra laiptuotas. Intervale nuo minus begalybės iki pirmosios galimos reikšmės x 1 jis yra lygus nuliui, nes šiame intervale neįmanoma priimti jokios reikšmės.

Toliau kiekviena galima reikšmė x j padidina pasiskirstymo funkciją dydžiu, lygia šios reikšmės atsiradimo tikimybei p j . Tarp dviejų iš eilės einančių reikšmių x j ir x j+1 pasiskirstymo funkcija nesikeičia, nes ten nėra kitų galimų x reikšmių ir nevyksta šuolių. Galiausiai paskutinės galimos reikšmės x M taške įvyksta tikimybės reikšmės p M šuolis, o pasiskirstymo funkcija pasiekia ribinę reikšmę, lygią vienetui. Toliau grafikas eina lygiagrečiai x ašiai. Ji niekada nepakyla aukščiau, nes tikimybė negali būti didesnė už vienetą.

3.2.4. Tolydinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo vaizdavimo būdai

Nuolatinis atsitiktinis dydis taip pat pateikiama pagal paskirstymo funkciją, paprastai pateikiamą analitine forma. Be to, jį galima visiškai apibūdinti tikimybių tankio funkcija f(x), kuri yra pirmoji pasiskirstymo funkcijos F(x) išvestinė:

Tikimybių tankio funkcija yra neneigiamas, o jo integralas virš begalinių ribų yra lygus vienybei.

Paimkime kaip pavyzdį ištisinį atsitiktinį dydį, paskirstytą pagal normalųjį dėsnį.

Jo tikimybės tankio funkcija analitiškai pateikiama formule, kurios forma:

Čia m X ir σ X yra pasiskirstymo parametrai. m X apibūdina paskirstymo centro vietą, o σ X yra dispersija šio „centro“ atžvilgiu.