확률 변수를 지정하는 방법. 이산확률변수의 분포 법칙. 문제 해결의 예 이산확률변수의 수치적 특성

베르누이의 공식(실험 반복에 관한 특정 정리)

실시예 23

로또복권이 3장 있습니다. 모든 티켓의 당첨 확률은 동일하며 다음과 같습니다. 아르 자형.티켓이 당첨되지 않을 확률 q = 1 - p– 반대 사건의 확률. 3장의 티켓 중 정확히 2장이 당첨될 확률을 구하세요.

원하는 확률을 로 표시합니다.

우리가 관심 있는 이벤트는 첫 번째 AND 두 번째 티켓이 당첨되지 않고 세 번째 티켓이 당첨되지 않거나 첫 번째 티켓이 당첨되지 않고 두 번째 AND 세 번째 티켓이 당첨되지 않거나 두 번째 티켓이 당첨되지 않고 첫 번째 및 세 번째 티켓이 당첨되는 경우 발생합니다. . 이러한 각 옵션의 확률은 곱셈 공식을 사용하여 찾을 수 있으며, 답은 호환되지 않는 이벤트에 대한 덧셈 공식을 사용하여 계산됩니다.

= ppq + qpp + pqp = 3p 2 q.

문제에 대한 해결 방법을 분석해 보면 다음과 같은 순서로 해결되었음을 알 수 있습니다.

관심 있는 이벤트를 구현하기 위한 다양한 옵션이 컴파일되었습니다.

이러한 옵션의 수가 계산됩니다.

옵션을 구현함으로써 이벤트가 발생할 확률이 결정됩니다.

필요한 확률은 옵션 중 하나에 따라 이벤트가 발생할 확률에 전체 옵션 수를 곱하여 구합니다.

실제로 이 문제는 소위 말하는 방법을 사용하여 해결되었습니다. 베르누이의 공식. 일반적인 형태로 적어보자.

일련의 N실험(테스트). 실험은 서로 독립적으로 동일한 조건에서 반복적으로 수행되므로 사건이 발생할 확률이 높아집니다. ㅏ경험에서 경험으로 바뀌지 않으며 동일합니다. 아르 자형. 사건이 일어나지 않을 확률을 나타내자 ㅏ한 실험에서 - q = 1-p. 일련의 확률을 결정하는 것이 필요합니다. N체험 이벤트 ㅏ다시 일어날 것이다 케이 times – 이 이벤트를 다음과 같이 표시하겠습니다. 안에.

이벤트 안에다양한 방법(옵션)으로 수행할 수 있습니다. 예를 들어 다음과 같습니다.

또는 다음과 같습니다:

중요한 것은 모든 변형에서 이벤트 발생 횟수가 ㅏ같음 N, 이벤트 발생 횟수 같음 n–k, 다른 버전에서는 다른 순서로 나타나거나 나타나지 않습니다.

이러한 옵션의 수를 결정하려면 공식을 사용할 수 있습니다 조합론- 조합의 수 N요소별 케이.

조합 - 이것들은 다음의 조합입니다. 케이특정 세트에서 선택된 객체(요소) N동일한 수의 개체를 포함하지만 그 중 적어도 하나가 서로 다른 개체입니다.

조합 수 N요소별 케이다음 공식으로 찾을 수 있습니다. = . (15)

조합 수를 결정하는 중요한 속성은 다음과 같습니다.

고려 중인 문제에서 서로 다른 요소는 실험 횟수이다. 총 옵션 수는 와 같습니다.

이벤트 발생 확률 앤각 옵션의 횟수는 동일하며 "사건 A가 발생했습니다"라는 문구를 기반으로 확률을 곱하는 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다. 케이결코 일어나지 않았다 n–k한 번": p k q n - k

이러한 동일한 확률을 합산하면 다음과 같은 공식이 나옵니다. 베르누이의 공식:

=p k q n - k . (16)

기억해야 할 것은 p는 발생 확률 경험상 우리가 관심을 갖는 사건, 그리고 큐 - 등장하지 않을 확률 이번 이벤트는 경험상.

Bernoulli의 공식(Jacob Bernoulli는 그의 저서 The Art of Conjecture에서 이를 탐구했습니다)이라고도 합니다. 사적인 실험 반복에 관한 정리. 이는 각 후속 실험이 이전의 모든 실험과 동일한 조건에서 수행됨을 의미합니다. 사건이 발생할 확률은 실험마다 변하지 않고 동일하게 유지됩니다. 아르 자형.

프라이빗과 함께 일반 정리실험의 반복(사건이 실험마다 바뀔 확률)에 대해 설명합니다. 이에 대한 고려는 이 과정의 범위를 벗어납니다.

실시예 24

작업장에는 10개의 전기 모터가 있으며, 각 모터가 꺼질 확률은 0.1입니다. 모터는 서로 독립적으로 네트워크에 연결됩니다. 세 개의 전기 모터가 동시에 꺼질 확률을 구하십시오.

해결책. 문제의 조건은 J. Bernoulli의 반복 테스트 계획과 일치합니다. 우리는 3개의 스위치가 꺼진 엔진(스위치가 꺼진 상태의 확률은 0.1)과 7개의 스위치가 켜진 엔진(스위치가 켜진 상태의 확률은 0.1)을 고려하여 반복 실험에 대한 특수 정리를 사용하여 문제를 해결합니다. 0.9):

=피 3 q 10-3=q 3 (1-q) 10-3 =120∙(0.1) 3 ∙(0.9) 7 =0.0574.

확률 변수와 분포 법칙

무작위 사건과 함께 확률 이론의 또 다른 중요한 개념은 "RV(무작위 변수)" 개념입니다.

크기 실험 결과의 정량적 특성입니다.

모든 수량은 비무작위와 무작위의 두 가지 큰 그룹으로 나뉩니다.

비무작위(결정론적) - 경험의 결과로 미리 결정된 알려진 값을 갖는 수량입니다. 예를 들어, 일출과 일몰 시간, 새해 날짜, 신생아 손의 손가락 수, 한 학기의 시험 및 시험 횟수 등이 있습니다.

무작위(확률적)- 실험 결과 어떤 값을 갖게 될지 미리 알 수 없는 수량입니다.

확률 변수는 이산형이거나 연속형일 수 있습니다.

이산형경험상 가능한 많은 값 중 하나를 취하는 SV이며 원하는 경우 이러한 값을 나열하거나 번호를 매길 수 있습니다. 이 세트는 유한합니다. 대부분(반드시 그런 것은 아니지만) 이는 음수가 아닌 정수 값입니다. 예를 들어, 영형학생의 시험 점수; 머리털 갯수, ED 작업장 직원 수.

마디 없는 그들은 경험상 가능한 값 중 하나를 취하는 SV를 부르며, 이러한 값의 수는 아주 작은 간격에서도 무한히 큽니다. 즉, 연속적인 SV의 가능한 값의 집합은 셀 수 없다. 예를 들어, 네트워크의 전압 레벨, 고장 전 전력선 작동 기간, 사람의 키와 몸무게, 만년필 무게 등이 있습니다.

확률 변수의 이름 일반적으로 표시 대문자로 라틴 알파벳 - 엑스,와이; ㅏ 가치 , 실험에서 임의의 변수가 사용되는 것, – 소문자 - 엑스, 와이.

동일한 확률변수의 서로 다른 값이 동일하게 자주 관찰되지는 않습니다. 예를 들어, 남성은 46사이즈보다 42사이즈의 신발을 훨씬 더 자주 착용합니다. 네트워크 전압은 225-235V 범위보다 215-225V 범위에서 훨씬 더 자주 발생합니다.

무작위 변수의 값과 발생 확률 사이의 관계는 다음과 같이 설정됩니다. 확률변수의 분포 법칙. 그들은 SV가 하나 또는 다른 분배법에 따라 분배된다고 말합니다. 분배 법칙을 지정하는 데는 여러 가지 형태가 있습니다.

· 표(표) 형태;

· 그림의 형태로 (그래픽으로);

공식 (분석적으로).

확률 변수의 분포 법칙을 지정하는 방법

SW 배포 법칙을 지정하는 모든 방법은 조건부로 이론적 및 통계적으로 나눌 수 있습니다. 이론 법칙분포는 자연에 존재하는 실제 법칙을 반영합니다. 이를 확립하려면 대수의 법칙에 따라 무한에 가까운 양의 정보를 처리해야 합니다. 실제로 그러한 법률은 제한된 양의 통계 데이터를 기반으로 제정되며 하나 또는 다른 방식으로 공식화됩니다. 통계적방법. 통계를 흔히들 부른다. 실험적 (경험적)). 분배법칙(DLR)을 지정하는 각 이론적 방법에는 통계적 유추(STL)가 있습니다. 이러한 방법을 고려해 봅시다.

TZR-1. SV 유통 시리즈

분포 계열은 한편으로는 확률 변수의 값을 표시하고 다른 한편으로는 확률을 표시하는 표입니다(표 2). 분포 계열에서는 SV 값이 증가함에 따라 순서대로 배열됩니다.

이 값의 총 확률은 1과 같으며 가능한 모든 SV 값으로 나뉩니다. 따라서 분포 계열의 모든 확률의 합은 1과 같습니다. = 1

표 2. SV 분포 계열

이산 확률 변수를 지정하는 방법은 일반적이지 않습니다. 예를 들어 연속 확률 변수에는 적용할 수 없습니다. 실제로, 확률 변수 X의 가능한 값이 구간 (a;b)를 완전히 채우도록 합니다. X의 가능한 모든 값을 나열하는 것이 가능합니까? 아니요. 모든 유형의 확률 변수를 지정하려면 일반적인 방법이 필요합니다. 이를 위해 확률변수의 확률분포함수가 도입된다.

분포 함수 분포 함수는 테스트 결과로 랜덤 변수 X가 x보다 작은 값을 취할 확률을 결정하는 함수 F(x)입니다. F(x) = P(X

X 1. 3. 3. 확률변수가 결론된 값을 취할 확률" title="분포함수의 속성 1. 1. 분포함수의 값은 세그먼트에 속함: 0 F (x) 1. 2. 2. F (x)는 비감소 함수입니다. 즉, x 2 > x 1인 경우 F(x 2) F(x 1)입니다. 3. 3. 확률 변수가 가치를 받아들인다는 결론이 내려진다" class="link_thumb"> 4 !}분포 함수의 속성 분포 함수의 값은 세그먼트에 속합니다. 0 F(x) F(x)는 감소하지 않는 함수입니다. 즉, F(x 2) F(x 1), x 2 > x 확률 변수가 구간(a;b)에 포함된 값을 취할 확률은 이 구간에서 분포 함수의 증분과 동일합니다. P(a x 1. 3. 3. 확률변수가 "> x 1. 3. 3. 확률변수가 구간 (a; b)에 포함된 값을 취할 확률은 다음과 같습니다. 이 구간에서 분포 함수의 증분: P (a"> x 1. 3. 3. 확률 변수가 결론된 값을 취할 확률" title="분포 함수의 속성 1. 1. 분포 함수의 값은 다음 간격에 속합니다: 0 F( x) 1. 2. 2. F(x) - 감소하지 않는 함수, 즉 F(x 2) F(x 1), x 2 >인 경우 x 1. 3. 3. 확률변수가 의미를 가질 확률, 결론"> title="분포 함수의 속성 1. 1. 분포 함수의 값은 세그먼트에 속합니다: 0 F(x) 1. 2. 2. F(x)는 비감소 함수입니다. 즉, F(x 2) F(x 1), x 2 > x 1인 경우. 3. 3. 랜덤 변수가 값을 취할 확률은 결론을 내립니다."> !}

예 1. 확률 변수 X는 x -1에서 분포 함수 0으로 제공됩니다. F(x) = x/4+1/4에서 테스트 결과 X가 구간에 속하는 값을 취할 확률을 구합니다. (0;2): P(0

4. 4. 연속 확률 변수 X가 하나의 특정 값을 취할 확률은 0입니다. 따라서 확률 변수가 아무리 작더라도 구간에 포함될 확률을 고려하는 것이 합리적입니다. 예를 들어, 그들은 부품의 치수가 허용된 한계를 초과하지 않을 확률에 관심이 있지만 설계 크기와 일치할 확률에 대한 문제는 제기하지 않습니다.

그러나 확률 P(X=x 1)이 0과 동일하다는 것은 사건 X=x 1이 불가능하다는 것을 의미한다고 생각하는 것은 잘못된 것입니다(확률의 고전적 정의에 국한되지 않는 경우). 테스트 결과, 확률변수는 반드시 가능한 값 중 하나를 취하게 됩니다. 특히 이 값은 x 1과 같을 수 있습니다.

5. 5. 확률변수의 가능한 값이 구간 (a;b)에 속하면 1) F(x) = 0 for x a; 2) F(x) = xb에서 1입니다. ] 연속 확률 변수의 가능한 값이 전체 x축에 위치하는 경우 다음 극한 관계가 유효합니다. Lim F(x) = 0; 임 F(x) = 1. x- x+

연속확률변수의 확률밀도분포 분포함수를 이용하여 연속확률변수를 지정하는 방법이 유일한 것은 아니다. 연속 확률 변수는 분포 밀도 또는 확률 밀도(미분 함수라고도 함)라고 하는 다른 함수를 사용하여 지정할 수도 있습니다.

연속 확률 변수 X의 확률 분포 밀도를 함수 f(x)라고 합니다. 이는 분포 함수 F(x)의 1차 도함수입니다. f(x) = F"(x)입니다. 따라서 분포 함수는 역도함수입니다. 분포 밀도의.

π/2. 분포 밀도 f(x)를 구합니다. 0 at x π/2." title="예. x 0에서 연속 확률 변수 X 0의 분포 함수가 주어지면 F(x) = sinx at 0 π/2. 분포 밀도 f(x ) x π/2에서 0입니다." class="link_thumb"> 18 !}예. 주어진 것은 x 0 F(x) = sinx at 0 π/2에서 연속 확률 변수 X 0의 분포 함수입니다. 분포 밀도 f(x)를 구합니다. xπ/2에서 0입니다. π/2. 분포 밀도 f(x)를 구합니다. x π/2에서 0."> π/2. 분포 밀도 f(x)를 구합니다. x π/2에서 0."> π/2. 분포 밀도 f(x)를 구합니다. 0 at x π/2." title="예. x 0에서 연속 확률 변수 X 0의 분포 함수가 주어지면 F(x) = sinx at 0 π/2. 분포 밀도 f(x ) x π/2에서 0입니다."> (x) = cosx при 0 π/2." title="예. 주어진 것은 x 0 F(x) = sinx at 0 π/2에서 연속 확률 변수 X 0의 분포 함수입니다. 분포 밀도 f(x)를 구합니다. xπ/2에서 0입니다."> !}

분포 밀도의 속성 분포 밀도는 음수가 아닌 함수입니다: f(x) 0. 분포 밀도 그래프를 분포 곡선이라고 합니다. - ~ 범위에서 분포 밀도의 부적절한 적분은 1과 같습니다. f(x) )dx = 1. -

분포 밀도의 확률적 의미 함수 f(x)는 각 점 x에 대한 확률 분포 밀도를 결정합니다. 충분히 작은 x의 경우. 에프(엑스 + 엑스) - 에프(엑스) 에프(엑스)엑스. 왜냐하면 차이 F(x + x) - F(x)는 X가 구간 (x; x + x)에 속하는 값을 취할 확률을 결정합니다(위 참조). 따라서 이 확률은 다음의 곱과 거의 같습니다. t의 확률 밀도 x를 구간 x의 길이로 나눈 값입니다.

알려진 바와 같이, 무작위 변수 경우에 따라 특정 값을 가질 수 있는 가변량이라고 합니다. 무작위 변수는 라틴 알파벳의 대문자(X, Y, Z)로 표시되고 해당 값은 해당 소문자(x, y, z)로 표시됩니다. 확률 변수는 불연속(이산) 변수와 연속 변수로 구분됩니다.

이산확률변수 0이 아닌 특정 확률을 갖는 유한 또는 무한(가산) 값 집합만 취하는 확률 변수입니다.

이산확률변수의 분포 법칙 랜덤 변수의 값을 해당 확률과 연결하는 함수입니다. 분배 법칙은 다음 방법 중 하나로 지정될 수 있습니다.

1 . 분배법칙은 다음 표로 주어질 수 있습니다.

여기서 λ>0, k = 0, 1, 2, …

V)사용하여 분포 함수 F(x) 이는 각 값 x에 대해 확률 변수 X가 x보다 작은 값을 취할 확률을 결정합니다. 즉 F(x) = P(X< x).

함수 F(x)의 속성

3 . 분배 법칙은 그래픽으로 지정될 수 있습니다. – 분포 다각형(다각형)(문제 3 참조).

일부 문제를 해결하기 위해 분배 법칙을 알 필요는 없습니다. 어떤 경우에는 유통법의 가장 중요한 특징을 반영하는 하나 이상의 숫자를 아는 것으로 충분합니다. 이는 확률변수의 '평균값'을 의미하는 숫자일 수도 있고, 확률변수가 평균값에서 벗어난 평균 크기를 나타내는 숫자일 수도 있습니다. 이런 종류의 숫자를 확률변수의 수치적 특성이라고 합니다.

이산확률변수의 기본 수치적 특성 :

• 수학적 기대 이산확률변수의 (평균값) M(X)=Σ x i p i.
  이항 분포의 경우 M(X)=np, 포아송 분포의 경우 M(X)=λ
• 분산 이산확률변수 D(X)=M2또는 D(X) = M(X 2)− 2. X–M(X)의 차이를 수학적 기대치에서 임의 변수의 편차라고 합니다.
  이항 분포의 경우 D(X)=npq, 포아송 분포의 경우 D(X)=λ
• 표준 편차 (표준 편차) σ(X)=√D(X).

"이산 확률 변수의 분포 법칙"주제에 대한 문제 해결의 예

작업 1.

1000장의 복권이 발행되었습니다. 그 중 5장은 500루블, 10장은 100루블, 20장은 50루블, 50장은 10루블을 얻습니다. 무작위 변수 X의 확률 분포 법칙 - 티켓당 당첨금을 결정합니다.

해결책. 문제의 조건에 따라 확률변수 X의 값은 0, 10, 50, 100, 500이 가능하다.

당첨되지 않은 티켓 수는 1000 – (5+10+20+50) = 915, 그러면 P(X=0) = 915/1000 = 0.915입니다.

마찬가지로 다른 모든 확률도 구합니다. P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01, P(X =500) = 5/1000=0.005. 결과 법칙을 표 형식으로 제시해 보겠습니다.

X 값의 수학적 기대값을 구해 봅시다: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5

작업 3.

이 장치는 독립적으로 작동하는 세 개의 요소로 구성됩니다. 한 실험에서 각 요소의 실패 확률은 0.1입니다. 한 번의 실험에서 실패한 요소의 수에 대한 분포 법칙을 작성하고 분포 다각형을 구성합니다. 분포 함수 F(x)를 찾아 플로팅합니다. 이산 확률 변수의 수학적 기대값, 분산 및 표준 편차를 구합니다.

해결책. 1. 이산 확률 변수 X = (한 실험에서 실패한 요소의 수)에는 다음과 같은 가능한 값이 있습니다. x 1 = 0(장치 요소 중 하나도 실패하지 않음), x 2 = 1(한 요소가 실패함), x 3 = 2( 요소 2개 실패) 및 x 4 =3(요소 3개 실패).

요소의 고장은 서로 독립적이며, 각 요소의 고장 확률은 동일하므로 적용 가능합니다. 베르누이 공식 . n=3, p=0.1, q=1-p=0.9 조건에 따라 값의 확률을 결정합니다.
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0.9 3 = 0.729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0.1*0.9 2 = 0.243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0.1 2 *0.9 = 0.027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0.1 3 = 0.001;
확인: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.

따라서 원하는 X의 이항 분포 법칙은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

가로축을 따라 x i의 가능한 값을 표시하고 세로축을 따라 해당 확률 p i를 표시합니다. M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001) 점을 구성해 보겠습니다. 이 점들을 직선 부분으로 연결함으로써 원하는 분포 다각형을 얻습니다.

3. 분포 함수 F(x) = Р(Х)를 찾아봅시다.

x ≤ 0에 대해 F(x) = Р(Х<0) = 0;
0에 대한< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1인용< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2인용< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3이면 F(x) = 1이 됩니다. 왜냐하면 이벤트는 신뢰할 수 있습니다.

함수 F(x)의 그래프

4. 이항 분포 X의 경우:
- 수학적 기대 M(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- 분산 D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- 표준편차 σ(X) = √D(X) = √0.27 ≒ 0.52.

"학교에서의 확률 이론" - 복잡한 사건. 여러 테스트. 기본 이벤트 공간의 임의 하위 집합입니다. 개연성. 특정 조건 세트의 구현. 독립 이벤트. 확률 곱셈 정리. 제품 규칙. 이벤트가 발생할 가능성이 가장 높은 횟수입니다. 호환되지 않는 사건의 확률을 추가하는 정리.

"무작위 사건의 확률" - 기본 사건. 대칭형 동전을 두 번 던졌습니다. 주사위 하나를 던집니다. 무작위 실험의 기본 사건. 확률의 합. 유리한 초등부 행사. 사수. 축구 경기. 초등행사 표입니다. 공정한 동전을 던질 때. 동등하게 가능한 기본 이벤트.

"확률의 덧셈과 곱셈" - 확률의 곱셈과 덧셈에 대한 정리. 적어도 하나의 사건이 발생할 확률입니다. 특별한 경우입니다. 독립 이벤트. 곱셈 정리. 총 확률 공식. 확률 덧셈 정리. 목표물에 맞을 확률. 확률 곱셈 정리. 모든 이벤트. 조건부 확률.

“시험에 대한 확률론” - 굴린 점수의 합이 6이 될 확률. 토스. 유리한 사건 A. 곱셈 규칙(곱셈 규칙). 가방 안에 검은색 공 2개, 흰색 공 3개가 있습니다. 순열, 배치, 조합 간의 구별. 사건의 확률. 교육 및 방법론 매뉴얼. 가운데에 숫자가 적혀있습니다.

"사건이 발생할 확률" - 자연수. 사건의 확률 결정. 실험. 확률 평가의 가능성. 조합. 개연성. 장소. 반대 사건의 확률입니다. 사건의 확률. 사례 수. 조합론의 요소. 요소 수. 확률 이론의 요소. 사건 확률의 통계적 결정.

"무작위 변수" - 베르누이의 공식. 좁은 직사각형. 분포 함수를 구성하기 위해 여러 값을 계산합니다. 분포함수는 비감소함수입니다. SV 분배 법칙은 임의의 비율입니다. 일. 무작위 변수(SV). SV 값의 간격이 다릅니다. 이 기능은 SW가 배포되는 밀도를 특징으로 합니다.

해당 주제에 대한 총 23개의 프레젠테이션이 있습니다.

위험 상황에서 우리는 하나 또는 다른 대안의 결과와 이러한 결과가 발생할 가능성을 알고 있습니다. 즉, 우리는 결과의 확률 분포를 알고 있으므로 다음 형식으로 표현(모델링)할 수 있습니다. 무작위 변수. 이 섹션에서 우리는 책에 있는 자료를 더 자세히 연구하는 데 필요한 무작위 변수와 그 결정 방법에 대한 확률 이론의 정보를 회상할 것입니다.

고전적 정의에 따르면, 무작위 수량은 실험마다 값이 무작위로 달라질 수 있는 수량입니다. 즉, 각 "테스트"에서는 특정 세트에서 하나의 단일 값을 가져올 수 있습니다. 그러나 그것이 어떤 가치를 갖게 될지 정확히 예측하는 것은 불가능합니다.

확률변수는 이산형 변수와 연속형 변수로 구분됩니다. 이산형 SV는 유한하거나 셀 수 있는 값 집합만 사용할 수 있습니다. 연속 SV는 무한 구간을 포함하여 닫힌 구간이나 열린 구간의 모든 값을 취할 수 있습니다.

3.2.2. 확률변수의 분포 법칙

확률 변수는 분포 법칙에 따라 결정됩니다. 분배의 법칙다음과 같은 경우 지정된 것으로 간주됩니다.

• 무작위 변수(무한 포함)의 가능한 값 집합 및
• 무작위 변수가 이 집합의 임의 영역에 포함될 확률, 또는 그러한 확률을 계산할 수 있는 법칙(공식).

본질적으로 확률은 주어진 영역에 무작위 변수가 나타날 가능성을 나타내는 지표입니다.

다양한 확률 변수 값의 확률을 결정하는 가장 일반적이고 널리 사용되는 방법은 다음을 지정하는 것입니다. 확률 분포 함수, 이는 다음과 같이 축약됩니다. 분포 함수.

확률 변수 X의 분포 함수는 SV가 특정 값 x보다 작은 값을 취할 확률을 지정하는 함수 F(x)입니다. 즉, 다음과 같습니다.

F(x) = P(X< x)

X("x big") - 무작위 변수를 나타냅니다.

x(“x small”)는 임의 변수의 가능한 값 집합 중 특정 값입니다.

분포함수는 감소하지 않습니다. x가 마이너스 무한대에 가까워질수록 0이 되는 경향이 있고, x가 플러스 무한대에 가까워지면 1이 되는 경향이 있습니다.

확률변수의 분포 법칙을 표현하는 형태는 다를 수 있으며 이산형 확률변수인지 연속형 확률변수인지에 따라 달라집니다.

분포 함수의 정의에 따라 다음과 같은 종속성이 발생합니다.

확률 변수가 a에서 b까지의 간격에서 값을 취할 확률:

P(a ≤ X< b) = F(b) - F(a)

확률변수가 a 이상의 값을 가질 확률:

3.2.3. 이산확률변수의 분포를 나타내는 방법

이산확률변수분포 함수나 분포 계열(표)로 완전히 지정할 수 있습니다. 이는 표, 분석 또는 그래픽 형식으로 표시될 수 있습니다.

확률 변수 X가 각각 25%, 35%, 40%의 확률로 3가지 가능한 값 25, 45, 50을 취할 수 있다고 가정합니다. 이 SV의 배포 시리즈는 다음과 같습니다.

특정 값을 초과하지 않을 확률을 나타내는 동일한 확률변수의 분포함수는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

그림 3.1은 이 이산 확률 변수 X의 분포 법칙을 지정하는 그래픽 방법을 보여줍니다.

그림 3.1.

확률 분포 계열 p j의 그래프에서 각 가능한 값 x j의 실현은 높이가 확률과 동일한 막대로 표시됩니다. 모든 M개의 막대(즉, 모든 확률)의 높이의 합은 x의 가능한 모든 값을 포괄하므로 1과 같습니다.

때로는 막대 대신에 SV 값이 실현될 확률을 연결하는 점선이 그려지기도 합니다.

이산형 확률변수가 a보다 작은 값을 가질 확률은 a보다 작은 모든 결과의 확률의 합과 같습니다.

정의에 따르면 이는 x = a 지점에서의 분포 함수 값과 같습니다. x가 마이너스 무한대에서 플러스 무한대까지 모든 값을 "통과"할 때 좌표 평면에 분포 함수의 값을 플롯하면 분포 함수의 그래프가 표시됩니다. 개별 SV의 경우 계단형입니다. 마이너스 무한대에서 첫 번째 가능한 값 x 1까지의 간격에서는 이 간격에서 어떤 값도 허용할 수 없으므로 0과 같습니다.

다음으로, 각각의 가능한 값 xj는 이 값 pj의 발생 확률과 동일한 양만큼 분포 함수를 증가시킵니다. 두 개의 연속 값 x j와 x j+1 사이에는 x의 다른 가능한 값이 없고 점프가 발생하지 않기 때문에 분포 함수는 변경되지 않습니다. 궁극적으로 마지막 가능한 값 x M 지점에서 확률 값 p M에 점프가 발생하고 분포 함수는 1과 같은 한계 값에 도달합니다. 다음으로, 그래프는 x축에 평행한 수준으로 이동합니다. 확률은 1보다 클 수 없기 때문에 결코 더 높이 올라가지 않습니다.

3.2.4. 연속확률변수의 분포를 나타내는 방법

연속확률변수또한 일반적으로 분석 형식으로 표시되는 분포 함수에 의해 제공됩니다. 또한, 분포 함수 F(x)의 1차 도함수인 확률 밀도 함수 f(x)로 완전히 설명할 수 있습니다.

확률밀도함수는 음수가 아니며, 무한한 한계에 대한 적분은 1과 같습니다.

정규 법칙에 따라 분포되는 연속 확률 변수를 예로 들어 보겠습니다.

확률 밀도 함수는 다음 형식의 공식으로 분석적으로 제공됩니다.

여기서 m X와 σ X는 분포 모수입니다. m X는 분포 중심의 위치를 ​​나타내며 σ X는 이 "중심"에 대한 분산입니다.