Tört racionális egyenletek. Megoldási algoritmus. Algoritmus egyenletek megoldására? Algoritmus a 7. egyenletek megoldásához
Az egyenletrendszereket széles körben használják a gazdasági szektorban különféle folyamatok matematikai modellezésére. Például a termelésirányítás és -tervezés, a logisztikai útvonalak (szállítási probléma) vagy a berendezések elhelyezésének problémáinak megoldásakor.
Az egyenletrendszereket nemcsak a matematikában, hanem a fizikában, a kémiában és a biológiában is alkalmazzák a populáció méretének meghatározásával kapcsolatos problémák megoldása során.
A lineáris egyenletrendszer két vagy több többváltozós egyenlet, amelyekre közös megoldást kell találni. Olyan számsorozat, amelyre minden egyenlet valódi egyenlőséggé válik, vagy azt bizonyítja, hogy a sorozat nem létezik.
Lineáris egyenlet
Az ax+by=c alakú egyenleteket lineárisnak nevezzük. Az x, y jelölések azok az ismeretlenek, amelyek értékét meg kell találni, b, a a változók együtthatói, c az egyenlet szabad tagja.
Ha egy egyenletet ábrázolással oldunk meg, az úgy fog kinézni, mint egy egyenes, amelynek minden pontja a polinom megoldása.
Lineáris egyenletrendszerek típusai
A legegyszerűbb példáknak két X és Y változós lineáris egyenletrendszerek tekinthetők.
F1(x, y) = 0 és F2(x, y) = 0, ahol F1,2 függvények és (x, y) függvényváltozók.
Egyenletrendszer megoldása - ez azt jelenti, hogy meg kell találni azokat az értékeket (x, y), amelyeknél a rendszer valódi egyenlőséggé változik, vagy annak megállapítását, hogy x és y megfelelő értékei nem léteznek.
Egy pont koordinátáiként felírt értékpárt (x, y) egy lineáris egyenletrendszer megoldásának nevezzük.
Ha a rendszereknek egy közös megoldása van, vagy nincs megoldás, akkor ekvivalensnek nevezzük őket.
A homogén lineáris egyenletrendszerek olyan rendszerek, amelyek jobb oldala nullával egyenlő. Ha az egyenlőségjel utáni jobb oldali résznek van értéke, vagy függvény fejezi ki, akkor egy ilyen rendszer heterogén.
A változók száma jóval több lehet kettőnél, akkor egy három vagy több változós lineáris egyenletrendszer példájáról kell beszélnünk.
Amikor rendszerekkel szembesülnek, az iskolások azt feltételezik, hogy az egyenletek számának szükségszerűen egybe kell esnie az ismeretlenek számával, de ez nem így van. A rendszerben lévő egyenletek száma nem függ a változóktól, tetszőleges számú lehet belőlük.
Egyszerű és összetett módszerek egyenletrendszerek megoldására
Az ilyen rendszerek megoldására nincs általános analitikai módszer, minden módszer numerikus megoldásokon alapul. Az iskolai matematika kurzus részletesen ismerteti az olyan módszereket, mint a permutáció, az algebrai összeadás, a helyettesítés, valamint a grafikus és mátrixos módszerek, megoldások Gauss-módszerrel.
A megoldási módszerek tanítása során a fő feladat a rendszer helyes elemzésének megtanítása és az optimális megoldási algoritmus megtalálása minden egyes példához. A lényeg nem az, hogy megjegyezzük az egyes módszerek szabályrendszerét és műveleteit, hanem megértsük egy adott módszer használatának alapelveit.
A lineáris egyenletrendszerekre vonatkozó példák megoldása a 7. osztályos általános oktatási tananyagban meglehetősen egyszerű és nagyon részletesen kifejthető. Bármely matematika tankönyvben kellő figyelmet fordítanak erre a részre. A lineáris egyenletrendszerekre vonatkozó példák Gauss és Cramer módszerrel történő megoldását a felsőoktatás első éveiben részletesebben tanulmányozzuk.
Rendszerek megoldása helyettesítési módszerrel
A helyettesítési módszer műveletei arra irányulnak, hogy az egyik változó értékét a másodikban fejezzük ki. A kifejezést behelyettesítjük a fennmaradó egyenletbe, majd egy változós alakra redukáljuk. A művelet megismétlődik a rendszerben lévő ismeretlenek számától függően
Adjunk megoldást egy 7. osztályú lineáris egyenletrendszerre a helyettesítési módszerrel:
Amint a példából látható, az x változót az F(X) = 7 + Y függvényen keresztül fejeztük ki. Az eredményül kapott kifejezés, amelyet a rendszer 2. egyenletébe X helyett behelyettesítettünk, segített egy Y változót kapni a 2. egyenletben. . Ennek a példának a megoldása egyszerű, és lehetővé teszi az Y érték meghatározását. Az utolsó lépés a kapott értékek ellenőrzése.
Egy lineáris egyenletrendszer példáját nem mindig lehet helyettesítéssel megoldani. Az egyenletek bonyolultak lehetnek, és a változó kifejezése a második ismeretlennel túl nehézkes a további számításokhoz. Ha több mint 3 ismeretlen van a rendszerben, akkor a helyettesítéssel történő megoldás sem megfelelő.
Lineáris inhomogén egyenletrendszer példájának megoldása:
Megoldás algebrai összeadással
Amikor az összeadás módszerével megoldásokat keresünk a rendszerekre, az egyenleteket szóról szóra összeadjuk, és különböző számokkal megszorozzuk. A matematikai műveletek végső célja az egyenlet egy változóban.
A módszer alkalmazása gyakorlatot és megfigyelést igényel. Lineáris egyenletrendszer megoldása az összeadás módszerével, ha 3 vagy több változó van, nem könnyű. Az algebrai összeadás kényelmesen használható, ha az egyenletek törteket és tizedesjegyeket tartalmaznak.
Megoldási algoritmus:
- Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát egy bizonyos számmal. Az aritmetikai művelet eredményeként a változó egyik együtthatója egyenlő legyen 1-gyel.
- Adja hozzá a kapott kifejezést kifejezésenként, és keresse meg az egyik ismeretlent.
- Helyettesítse be a kapott értéket a rendszer 2. egyenletébe, és keresse meg a fennmaradó változót.
Megoldás módszere új változó bevezetésével
Új változót akkor lehet bevezetni, ha a rendszer legfeljebb két egyenletre kíván megoldást találni, az ismeretlenek száma szintén nem lehet több, mint kettő.
A módszer az egyik egyenlet egyszerűsítésére szolgál egy új változó bevezetésével. Az új egyenletet a bevezetett ismeretlenre oldjuk meg, és a kapott értékkel határozzuk meg az eredeti változót.
A példa azt mutatja, hogy egy új t változó bevezetésével lehetséges volt a rendszer 1. egyenlete szabványos másodfokú trinomikusra redukálni. Egy polinomot a diszkrimináns megtalálásával oldhat meg.
Meg kell találni a diszkrimináns értékét a jól ismert képlet segítségével: D = b2 - 4*a*c, ahol D a kívánt diszkrimináns, b, a, c a polinom tényezői. Az adott példában a=1, b=16, c=39, tehát D=100. Ha a diszkrimináns nagyobb, mint nulla, akkor két megoldás létezik: t = -b±√D / 2*a, ha a diszkrimináns kisebb, mint nulla, akkor egy megoldás van: x = -b / 2*a.
A kapott rendszerekre a megoldást az összeadás módszerével találjuk meg.
Vizuális módszer rendszerek megoldására
Alkalmas 3 egyenletrendszerhez. A módszer abból áll, hogy a rendszerben szereplő minden egyenlet grafikonját a koordinátatengelyen készítjük el. A görbék metszéspontjainak koordinátái a rendszer általános megoldása lesz.
A grafikus módszernek számos árnyalata van. Nézzünk meg néhány példát a lineáris egyenletrendszerek vizuális megoldására.
Amint a példából látható, minden vonalhoz két pontot állítottunk össze, az x változó értékeit tetszőlegesen választottuk ki: 0 és 3. Az x értékei alapján y értéket találtunk: 3 és 0. A (0, 3) és (3, 0) koordinátájú pontokat a grafikonon jelöltük és egy vonallal kötöttük össze.
A lépéseket meg kell ismételni a második egyenletnél. Az egyenesek metszéspontja a rendszer megoldása.
A következő példa egy lineáris egyenletrendszer grafikus megoldását igényli: 0,5x-y+2=0 és 0,5x-y-1=0.
Ahogy a példából is látszik, a rendszernek nincs megoldása, mert a gráfok párhuzamosak és nem metszik egymást teljes hosszukban.
A 2. és 3. példában szereplő rendszerek hasonlóak, de megalkotásukkor nyilvánvalóvá válik, hogy megoldásaik eltérőek. Emlékeztetni kell arra, hogy nem mindig lehet megmondani, hogy egy rendszernek van-e megoldása vagy sem, mindig szükséges gráfot készíteni.
A mátrix és fajtái
A mátrixokat lineáris egyenletrendszerek tömör felírásához használjuk. A mátrix egy speciális típusú táblázat, amely számokkal van kitöltve. Az n*m-nek n - sora és m - oszlopa van.
A mátrix négyzet alakú, ha az oszlopok és a sorok száma egyenlő. A mátrixvektor egy oszlopból álló mátrix végtelen számú sorral. Azt a mátrixot, amelynek az egyik átlója mentén egyesek és más nullaelemek vannak, azonosságnak nevezzük.
Az inverz mátrix olyan mátrix, amellyel az eredeti egységmátrixmá alakul, csak az eredeti négyzetes mátrix esetében létezik.
Egyenletrendszer mátrixmá alakításának szabályai
Az egyenletrendszerek kapcsán az egyenletek együtthatóit és szabad tagjait mátrixszámként írjuk fel, egy egyenlet a mátrix egy sora.
Egy mátrixsort nem nullának nevezünk, ha a sor legalább egy eleme nem nulla. Ezért, ha bármelyik egyenletben a változók száma eltér, akkor a hiányzó ismeretlen helyére nullát kell beírni.
A mátrix oszlopainak szigorúan meg kell felelniük a változóknak. Ez azt jelenti, hogy az x változó együtthatói csak egy oszlopba írhatók, például az első, az ismeretlen y együtthatója - csak a másodikba.
Egy mátrix szorzásakor a mátrix minden elemét szekvenciálisan megszorozzuk egy számmal.
Az inverz mátrix megtalálásának lehetőségei
Az inverz mátrix megtalálásának képlete meglehetősen egyszerű: K -1 = 1 / |K|, ahol K -1 az inverz mátrix, és |K| a mátrix meghatározója. |K| nem lehet egyenlő nullával, akkor a rendszernek van megoldása.
A determináns könnyen kiszámítható egy két-két mátrixhoz, csak meg kell szorozni az átlós elemeket egymással. A „háromszor három” opcióhoz létezik egy képlet |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Használhatja a képletet, vagy emlékezhet arra, hogy minden sorból és minden oszlopból egy elemet kell vennie, hogy az oszlopok és az elemek sorai ne ismétlődjenek meg a munkában.
Példák megoldása lineáris egyenletrendszerekre mátrix módszerrel
A megoldáskeresés mátrixos módszere lehetővé teszi a nehézkes bejegyzések csökkentését nagyszámú változót és egyenletet tartalmazó rendszerek megoldása során.
A példában a nm az egyenletek együtthatói, a mátrix egy vektor, x n változó, b n pedig szabad tag.
Rendszerek megoldása Gauss-módszerrel
A felsőbb matematikában a Gauss-módszert a Cramer-módszerrel együtt tanulmányozzák, a rendszerek megoldásának folyamatát pedig Gauss-Cramer megoldási módszernek nevezik. Ezeket a módszereket nagyszámú lineáris egyenletű rendszerek változóinak megtalálására használják.
A Gauss-módszer nagyon hasonlít a szubsztitúciós és algebrai összeadásos megoldásokhoz, de szisztematikusabb. Az iskolai kurzusban a Gauss-módszerrel történő megoldást használják 3 és 4 egyenletrendszerekre. A módszer célja, hogy a rendszert fordított trapéz formájúvá redukáljuk. Algebrai transzformációk és helyettesítések segítségével egy változó értékét megtaláljuk a rendszer egyik egyenletében. A második egyenlet 2 ismeretlent tartalmazó kifejezés, míg a 3 és 4 3 és 4 változós.
Miután a rendszert a leírt formába hoztuk, a további megoldás az ismert változók szekvenciális behelyettesítésére redukálódik a rendszer egyenleteiben.
A 7. évfolyam iskolai tankönyveiben a Gauss-módszerrel történő megoldás példája a következő:
Amint a példából látható, a (3) lépésben két egyenletet kaptunk: 3x 3 -2x 4 =11 és 3x 3 +2x 4 =7. Bármelyik egyenlet megoldása lehetővé teszi az x n változók egyikének kiderítését.
A szövegben említett 5. tétel kimondja, hogy ha a rendszer egyik egyenletét egy ekvivalensre cseréljük, akkor a kapott rendszer is ekvivalens lesz az eredetivel.
A Gauss-módszer nehezen érthető a középiskolások számára, de ez az egyik legérdekesebb módja a matematika és fizika órákon a haladó szintű tanulási programokba beiratkozott gyerekek találékonyságának fejlesztésének.
A rögzítés megkönnyítése érdekében a számításokat általában a következőképpen végezzük:
Az egyenletek és a szabad tagok együtthatói mátrix formájában vannak felírva, ahol a mátrix minden sora megfelel a rendszer valamelyik egyenletének. elválasztja az egyenlet bal oldalát a jobbtól. A római számok a rendszerben található egyenletek számát jelölik.
Először írja le a mátrixot, amellyel dolgozni szeretne, majd az egyik sorral végrehajtott összes műveletet. A kapott mátrixot a „nyíl” jel után írjuk, és a szükséges algebrai műveleteket addig folytatjuk, amíg az eredményt el nem érjük.
Az eredmény egy olyan mátrix, amelyben az egyik átló egyenlő 1-gyel, és az összes többi együttható nulla, vagyis a mátrix egységformára redukálódik. Nem szabad elfelejtenünk, hogy az egyenlet mindkét oldalán számokkal számoljunk.
Ez a rögzítési módszer kevésbé körülményes, és lehetővé teszi, hogy ne terelje el a figyelmét számos ismeretlen felsorolása.
Bármilyen megoldási mód ingyenes használata körültekintést és némi tapasztalatot igényel. Nem minden módszer alkalmazott jellegű. A megoldások megtalálásának egyes módszerei előnyösebbek az emberi tevékenység egy adott területén, míg mások oktatási célokra léteznek.
Fontos számunkra az Ön adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.
Személyes adatok gyűjtése és felhasználása
A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.
Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.
Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.
Milyen személyes adatokat gyűjtünk:
- Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.
Hogyan használjuk fel személyes adatait:
- Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
- Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
- A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
- Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.
Információk közlése harmadik felek számára
Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.
Kivételek:
- Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció állami szerveinek nyilvános kérelmei vagy kérései alapján - személyes adatainak felfedésére. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
- Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.
Személyes adatok védelme
Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, ellopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.
A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten
Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.
Óraösszefoglaló „Egyenletek megoldása” témában (6. osztály)
Az óra célja: a megszerzett ismeretek alkalmazása egyenletek megoldása során.
Az óra típusa: új tananyag magyarázata.
Tanterv:
Kifejezések egyszerűsítését szolgáló feladatok elvégzése, táblázatok kitöltése és a cselekvési mód felismerése egyenletek megoldásánál.
Súlyozási feladatok megoldásán keresztül, új egyenletek megoldásának feladatának felvetésével.
Az egyenletek megoldási algoritmusának rögzítése füzetbe, párban.
Egyenletek megoldása algoritmus segítségével. Az egyenlet egyik részéből a másikba történő kifejezések átvitelét gyakorló erős tanulók a végéig megoldják az egyenletet, és az óra végén megvédik a megoldást.
Az órák alatt:
Egyszerűsítse a kifejezést:
G 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vegye figyelembe, hogy az ellentétes tagok összege 0.
Problémát megoldani.
A mérleg egyik oldalán 5 db kenyér, a másikon 1 db ilyen vekni és 5 kg-os, 2 kg-os és 1 kg-os súlyok találhatók. Határozza meg 1 vekni kenyér súlyát.
Megoldás:
Legyen x kg 1 vekni kenyér súlya,
5 x kg – 5 ilyen kenyér súlya.
Létrehozhat egy egyenletet: 5 x = x +8
Vonjuk ki x-et az egyenlet mindkét oldaláról (eltávolítunk 1 vekni kenyeret mindkét skáláról).
Ugyanazt a számot hozzáadhatja az egyenlet mindkét oldalához. O.
5 x- x = x- x +8-at kapunk.
De x - x= 0, ami azt jelenti 5 x - x = 8.
Ezt az egyenletet ebből kaphatjuk meg, ha a kifejezés x mozogjon a jobb oldalról balra, előjelét fordítva az ellenkezőjére.
Az egyenlet bal oldalának egyszerűsítése 5 x - x = 8, 4 x= 8-at kapunk.
Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát a változó együtthatójával
Az egyenlet mindkét oldalát megszorozhatja (oszthatja) ugyanazzal a számmal (0 kivételével).
A 2-es szám az egyenletek 5
x
=
x
+8
, 5 óta 
2=2+8.
Írd le az egyenletek tulajdonságait a jegyzeteidbe!
3. Algoritmus egyenletek megoldására.
1) vigye át a változót tartalmazó kifejezéseket az egyenlet bal oldalára, a számokat pedig a jobb oldalára, ne felejtse el az átvitel során az előjeleket az ellenkezőjére cserélni;
2) hozzon hasonló kifejezéseket az egyenlet bal és jobb oldalára;
3) ossza el az egyenlet jobb oldalán található számot a változó együtthatójával.
Munka szabály szerint (a tanulók párban elmondják egymásnak a szabályt a dián lévő kártya alapján)
1) vigye át a …………..-t tartalmazó kifejezéseket az egyenlet bal oldalára, és ……..-t a jobb oldalára, ne felejtse el a …….. jeleket a …………..-ba való átvitelkor;
2) hozzon ………. kifejezések az egyenlet bal és jobb oldalán;
3) …........ szám az egyenlet jobb oldalán a ……………. változóval.
Egy kis történelem.
Az egyenletek transzformációjának első módszerét a híres arab matematikus, Muhammad al-Khorezmi írta le, aki Horezmiben és Bagdadban élt a 9-10. század fordulóján. Egyik fő műve arabról fordítva azt jelenti: „A helyreállítás és az ellenállás könyve”. Az egyenlet tagjainak egyik részből a másikba való áthelyezésével az egyik részben „megsemmisítjük”, a másikban „helyreállítjuk”, előjeleiket az ellenkezőjére cseréljük. Restaurálás - arabul al-jabr. A név ebből a szóból származik - algebra. Az algebra, amelyet tanulmányozni fog, sok évszázaddal ezelőtt pontosan az egyenletek megoldásának tudományaként keletkezett és fejlődött.
Egyenletek megoldása
A tanulók diákkal elemzik az egyenletek megoldását, és leírják a megoldást egy füzetbe.
1) 3x -12 = 0
3x – 2 = 10
3) 2x – 2 = 10 - x
Feleletválasztós egyenletek megoldása
1) 5x – 2 = 18
2) 7x = x + 24
B. 7x – x = 24
2x – 4 = 6x – 20
A. 2x - 6x = -20 + 4
B. 6x – 2x = 4-20
B. 2x – 6x = 20 +4
3x + 9 = x + 9
A. 3x + x = 9 + 9
B. 3x – x = 9 – 9
B. 9 – 9 = x – 3x
Az erősebb tanulók egy csoportját megkérik, hogy oldják meg az egyenleteket a végéig, és védjék meg megoldásukat.
Válaszok: 4, 4, 4, 0.
Keresse meg a hibát
|
|
|||||||||||||
| Kifejezések egyszerűsítése | A probléma megoldása | Munka az algoritmus-formulációval | A megfelelő vonal kiválasztása | Egyenletek megoldása | Extra pontok | ||||||||
| A tanuló(k) önálló munkájának pontozása …………………….. Osztály ………… |
|||||||||||||
| Kifejezések egyszerűsítése | A probléma megoldása | Munka az algoritmus-formulációval | A megfelelő vonal kiválasztása | Egyenletek megoldása | Extra pontok | ||||||||
| 0 b - a feladatot nem fejezték be, 1 b - a feladatot részben teljesítették, 2 b - a feladatot elvégezték, de segítséget kapott, 3 b - a feladatot teljesen és önállóan teljesítette |
|||||||||||||
| A tanuló(k) önálló munkájának pontozása …………………….. Osztály ………… |
|||||||||||||
| Kifejezések egyszerűsítése | A probléma megoldása | Munka az algoritmus-formulációval | A megfelelő vonal kiválasztása | Egyenletek megoldása | Extra pontok | ||||||||
| 0 b - a feladatot nem fejezték be, 1 b - a feladatot részben teljesítették, 2 b - a feladatot elvégezték, de segítséget kapott, 3 b - a feladatot teljesen és önállóan teljesítette |
|||||||||||||
| A tanuló(k) önálló munkájának pontozása …………………….. Osztály ………… |
|||||||||||||
| Kifejezések egyszerűsítése | A probléma megoldása | Munka az algoritmus-formulációval | A megfelelő vonal kiválasztása | Egyenletek megoldása | Extra pontok | ||||||||
| 0 b - a feladatot nem fejezték be, 1 b - a feladatot részben teljesítették, 2 b - a feladatot elvégezték, de segítséget kapott, 3 b - a feladatot teljesen és önállóan teljesítette |
|||||||||||||
| A tanuló(k) önálló munkájának pontozása …………………….. Osztály ………… |
|||||||||||||
| Kifejezések egyszerűsítése | A probléma megoldása | Munka az algoritmus-formulációval | A megfelelő vonal kiválasztása | Egyenletek megoldása | Extra pontok | ||||||||
| 0 b - a feladatot nem fejezték be, 1 b - a feladatot részben teljesítették, 2 b - a feladatot elvégezték, de segítséget kapott, 3 b - a feladatot teljesen és önállóan teljesítette |
|||||||||||||
| A tanuló(k) önálló munkájának pontozása …………………….. Osztály ………… |
|||||||||||||
| Kifejezések egyszerűsítése | A probléma megoldása | Munka az algoritmus-formulációval | A megfelelő vonal kiválasztása | Egyenletek megoldása | Extra pontok | ||||||||
| 0 b - a feladatot nem fejezték be, 1 b - a feladatot részben teljesítették, 2 b - a feladatot elvégezték, de segítséget kapott, 3 b - a feladatot teljesen és önállóan teljesítette | |||||||||||||
„Gauss és Cramer módszer” – Gauss-módszer. Elemi átalakulások. Osszuk el az (1) rendszer első egyenletét a11-gyel. (5). Gauss 1855. február 23-án halt meg Göttingenben. A Gauss-módszer egy klasszikus módszer lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására. Ekkor x2-t és x3-at behelyettesítjük az első egyenletbe, és megtaláljuk x1-et. Legyen az együttható.
„Egyenletek és egyenlőtlenségek” – A következőkből áll: két függvény grafikonjainak összeállítása egy koordinátarendszerben. 4. Grafikus módszer egy egyenlet gyökszámának meghatározására. 3. Hány gyöke van az egyenletnek? 2. Határozza meg az egyenlőtlenséget kielégítő számok összegét! A rendszer grafikus megoldása. 3. Keresse meg az egyenlőtlenséget kielégítő legnagyobb egész számot tartalmazó intervallumot!
„Gauss-Markov tétel” – Bizonyítsuk be a becslések torzítatlanságát (7.3). A (7.2) rendszer alapján alkossunk vektorokat és együtthatómátrixot. Ha az X mátrix nem kollineáris és a véletlenszerű zavarok vektora kielégíti a következő követelményeket: Ahol. (7.7). Ahhoz, hogy egy szélsőséghez szükséges feltételt megkapjuk, a (7.6) paramétert a paramétervektor alapján differenciáljuk.
„Egyenletrendszer megoldási módszerei” - B. 1. Számítsa ki: 14. 6. Hány százaléka a négyzetének a 8-as száma? 12. 7. Határozza meg az egyenlet legnagyobb gyökét! 9. Melyik függvény grafikonja látható az ábrán? Keresse meg a kifejezés jelentését. %. X. O. V. 15x + 10(1 – x) = 1.
„Irracionális egyenlet” – Keresse meg a hibát. Azokat az egyenleteket, amelyekben a változó a gyökjel alatt található, irracionálisnak nevezzük. ? X – 6 = 2? x – 3 = 0? x + 4 =7 ? 5 – x = 0? 2 – x = x + 4. PROBLÉMA: A tanulók nem mindig tudják, hogyan kell tudatosan felhasználni az irracionális egyenletekkel kapcsolatos információkat. Az x szám gyöke az egyenletnek: a) ? x – 2 = ?2 – x, x0 = 4 b) ?2 – x = ? x – 2, x0 = 2 c) ? x – 5 = ? 2x – 13, x0 = 6 g) ? 1 – x = ? 1 + x, x0 = 0.
„Egyenletek megoldása paraméterrel” - Megoldás. Példa. 6. osztály. Példák: 5. évfolyamon a számok tulajdonságainak áttekintése során jöhet a példa. A 6. évfolyamon a tanórán kívüli matematika órákon az egyenletek megoldását a következő alakú paraméterekkel vesszük figyelembe: 1) ax = 6 2) (a – 1)x = 8,3 3) bx = -5. A = -1/2 esetén a 0x = 0 egyenletet kapjuk. Az egyenletnek végtelen számú megoldása van.
Összesen 49 előadás hangzik el
Megtanultuk már a másodfokú egyenletek megoldását. Most terjesszük ki a vizsgált módszereket a racionális egyenletekre.
Mi a racionális kifejezés? Ezzel a fogalommal már találkoztunk. Racionális kifejezések számokból, változókból, ezek hatványaiból és matematikai műveletek szimbólumaiból álló kifejezések.
Ennek megfelelően a racionális egyenletek a következő alakú egyenletek: , ahol 
- racionális kifejezések.
Korábban csak azokat a racionális egyenleteket vettük figyelembe, amelyek lineárisra redukálhatók. Most nézzük meg azokat a racionális egyenleteket, amelyek másodfokú egyenletekre redukálhatók.
1. példa
Oldja meg az egyenletet: .
Megoldás:
Egy tört akkor és csak akkor egyenlő 0-val, ha a számlálója 0, a nevezője pedig nem egyenlő 0-val.
A következő rendszert kapjuk:
A rendszer első egyenlete egy másodfokú egyenlet. Mielőtt megoldanánk, osszuk el az összes együtthatóját 3-mal.
Két gyökeret kapunk: ; .
Mivel a 2 soha nem egyenlő 0-val, két feltételnek kell teljesülnie: 
. Mivel a fent kapott egyenlet egyik gyöke sem esik egybe a változó érvénytelen értékeivel, amelyeket a második egyenlőtlenség megoldása során kaptunk, mindkettő megoldása ennek az egyenletnek.
Válasz:.
Tehát fogalmazzunk meg egy algoritmust a racionális egyenletek megoldására:
1. Mozgassa az összes kifejezést a bal oldalra úgy, hogy a jobb oldalon 0 legyen.
2. A bal oldal átalakítása és egyszerűsítése, az összes tört közös nevezőre hozása.
3. A kapott törtet 0-val egyenlővé teszi a következő algoritmus segítségével: 
.
4. Írja fel azokat a gyököket, amelyeket az első egyenletben kapott, és teljesítse a válaszban a második egyenlőtlenséget!
Nézzünk egy másik példát.
2. példa
Oldja meg az egyenletet: 
.
Megoldás
A legelején az összes kifejezést balra mozgatjuk úgy, hogy 0 maradjon a jobb oldalon.
Most hozzuk az egyenlet bal oldalát egy közös nevezőre:
Ez az egyenlet ekvivalens a rendszerrel:
A rendszer első egyenlete egy másodfokú egyenlet.
Ennek az egyenletnek az együtthatói: . Kiszámoljuk a diszkriminánst:
Két gyökeret kapunk: ; .
Most oldjuk meg a második egyenlőtlenséget: a tényezők szorzata akkor és csak akkor nem egyenlő 0-val, ha egyik tényező sem egyenlő 0-val.
Két feltételnek kell teljesülnie: 
. Azt találjuk, hogy az első egyenlet két gyöke közül csak az egyik alkalmas - 3.
Válasz:.
Ebben a leckében megemlékeztünk arról, hogy mi a racionális kifejezés, és megtanultuk, hogyan kell megoldani a racionális egyenleteket, amelyek másodfokú egyenletekre redukálódnak.
A következő leckében a racionális egyenleteket, mint valós helyzetek modelljeit fogjuk megvizsgálni, és megvizsgáljuk a mozgási problémákat is.
Bibliográfia
- Bashmakov M.I. Algebra, 8. osztály. - M.: Oktatás, 2004.
- Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. és mások Algebra, 8. 5. kiadás. - M.: Oktatás, 2010.
- Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. osztály. Tankönyv általános oktatási intézmények számára. - M.: Oktatás, 2006.
- Pedagógiai ötletek fesztiválja "Nyílt lecke" ().
- School.xvatit.com ().
- Rudocs.exdat.com ().
Házi feladat