Valószínűségi változók megadásának módszerei. Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvénye. Példák problémamegoldásra Diszkrét valószínűségi változók numerikus jellemzői

Bernoulli-képlet (a kísérletek megismétlésére vonatkozó sajátos tétel)

23. példa

Három sorsjegy van. A nyerési valószínűség bármely jegy esetében azonos és egyenlő R. Annak valószínűsége, hogy a jegy nem nyer q = 1 – p– az ellenkező esemény valószínűségeként. Határozza meg annak valószínűségét, hogy három jegyből pontosan kettő nyer!

A kívánt valószínűséget jelöljük.

A minket érdeklő esemény akkor következik be, ha az első ÉS a második jegy nyer ÉS a harmadik nem nyer VAGY az első jegy nem nyer ÉS a második ÉS a harmadik nyer VAGY a második jegy nem nyer ÉS az első ÉS a harmadik nyer . Ezen opciók mindegyikének valószínűségét a szorzási képlet segítségével lehet megtalálni, és a válasz kiszámítása az inkompatibilis események összeadási képletével történik:

= ppq + qpp + pqp = 3p 2 q.

A probléma megoldását elemezve azt találjuk, hogy a megoldás a következő sorrendben történt:

Különféle lehetőségeket állítottak össze az érdeklődésre számot tartó esemény megvalósítására;

Ezen opciók számát a rendszer megszámolja;

Egy esemény bekövetkezésének valószínűsége bármely opció megvalósításával meghatározásra kerül;

A szükséges valószínűséget úgy kapjuk meg, hogy az egyik opció szerinti esemény bekövetkezésének valószínűségét megszorozzuk az opciók teljes számával.

Valójában a problémát az ún Bernoulli képlete. Írjuk le általános formában.

Legyen egy sor n kísérletek (tesztek). A kísérleteket ismételten, egymástól függetlenül és azonos feltételek mellett végzik úgy, hogy egy esemény bekövetkezésének valószínűsége A tapasztalatról tapasztalatra nem változik és egyenlő azzal R. Jelöljük annak a valószínűségét, hogy az esemény nem következik be A egy kísérletben - q = 1-p. Meg kell határozni annak valószínűségét, hogy egy sorozatban nélmények eseménye Aújra meg fog történni k alkalommal – jelöljük ezt az eseményt úgy BAN BEN.

Esemény BAN BEN különféle módokon (opciók) valósítható meg. Például így:

vagy így:

A lényeg az, hogy bármely változatban az esemény előfordulásának száma A egyenlő n, valamint az esemény előfordulásának száma egyenlő n–k, bár megjelennek, és nem jelennek meg különböző verziókban, különböző sorrendben.

Az ilyen opciók számának meghatározásához használhatja a képletet kombinatorika- kombinációinak száma n elemek által k.

Kombinációk - ezek kombinációi k egy bizonyos halmazból kiválasztott objektumok (elemek). n olyan objektumok, amelyek ugyanannyi objektumot tartalmaznak, de legalább az egyikben különböznek egymástól.

A kombinációk száma n elemek által k a következő képlettel jelöljük: = . (15)

A kombinációk számának meghatározásának fontos tulajdonsága a következő:

A vizsgált feladatban az egymástól eltérő elemek a kísérletek száma. Az opciók teljes száma .

Az esemény bekövetkezésének valószínűsége A n Az idő minden opciónál ugyanaz, és a valószínűségek szorzására szolgáló képlet segítségével érhető el az „A esemény történt” kifejezés alapján. k soha nem történt meg n–k egyszer": p k q n - k


Ezeket az azonos valószínűségeket összeadva egy képletet kapunk, az úgynevezett Bernoulli képlete:

=p k q n - k . (16)

Emlékeztetni kell arra p van előfordulási valószínűsége élményben számunkra érdekes esemény, és q – a meg nem jelenés valószínűsége ezt az eseményt tapasztalatban.

Bernoulli képletét (Jacob Bernoulli a The Art of Conjecture című könyvében tárta fel) is ún. magán tétel a kísérletek megismétléséről. Ez azt jelenti, hogy minden további kísérletet ugyanolyan körülmények között hajtanak végre, mint az összes előzőt, azaz. egy esemény bekövetkezésének valószínűsége nem változik kísérletről kísérletre, és egyenlő marad R.

A privát mellett van általános tétel kísérletek megismétléséről (egy esemény kísérletről kísérletre váltásának valószínűsége), amelynek figyelembe vétele meghaladja jelen kurzus kereteit.

24. példa

A műhelyben 10 db villanymotor található, mindegyik kikapcsolásának valószínűsége 0,1. A motorok egymástól függetlenül csatlakoznak a hálózathoz. Határozza meg annak valószínűségét, hogy három villanymotor egyszerre kikapcsol.

Megoldás. A probléma feltétele megfelel J. Bernoulli ismételt tesztjeinek sémájának. A feladatot egy speciális, ismétlődő kísérleti tétel segítségével oldjuk meg, figyelembe véve, hogy három lekapcsolt motor van (a kikapcsolt állapot valószínűsége 0,1), és 7 bekapcsolt (a bekapcsolt állapot valószínűsége: 0,9):

=p 3 q 10-3=q 3 (1-q) 10-3 = 120 ∙ (0,1) 3 ∙ (0,9) 7 = 0,0574.

Véletlen változók és eloszlási törvényeik

A véletlenszerű események mellett egy másik fontos fogalom a valószínűségszámításban a „véletlenszerű változó” (RV) fogalma.

Nagyságrend egy kísérlet eredményének mennyiségi jellemzője.

Minden mennyiség két nagy csoportra oszlik: nem véletlenszerű és véletlenszerű.

Nem véletlenszerű (determinisztikus) - ezek olyan mennyiségek, amelyek a tapasztalat eredményeként előre meghatározott, ismert értéket vesznek fel. Például a napkelte és napnyugta időpontja, az új év dátuma, az ujjak száma az újszülött kezén, a vizsgák és tesztek száma egy félévben.

Véletlen (sztochasztikus)- ezek olyan mennyiségek, amelyekről nem lehet előre tudni, hogy milyen értéket vesznek fel a kísérlet eredményeként.

A véletlen változók viszont lehetnek diszkrétek vagy folytonosak.

Diszkrét azok az SV-k, amelyek a tapasztalatok szerint a sok lehetséges érték közül egyet vesznek fel, és ezek az értékek, ha szükséges, felsorolhatók vagy számozhatók, pl. ez a halmaz véges. Leggyakrabban (bár nem feltétlenül) ezek egész, nem negatív értékek. Például, O tanuló pontszáma a vizsgán; a fejen lévő szőrszálak száma, az ED műhelyben dolgozók száma.

Folyamatos olyan SV-nek hívják, amelyek a tapasztalatok szerint a lehetséges értékek egyikét veszik fel, és ezeknek az értékeknek a száma még nagyon kis intervallumban is végtelenül nagy. Más szóval, a folyamatos SV lehetséges értékeinek halmaza megszámlálhatatlan. Például a hálózat feszültségszintje, az elektromos vezeték működésének időtartama a meghibásodás előtt, egy személy magassága és súlya, egy töltőtoll súlya.

Valószínűségi változók nevei általában jelölik nagybetűvel latin ábécé - X, Y; A értékeket , mely valószínűségi változókat veszik figyelembe a kísérletben, – kisbetűvel - x, y.

Ugyanazon valószínűségi változó különböző értékei nem egyformán gyakran figyelhetők meg. Például a férfiak sokkal gyakrabban viselnek 42-es cipőt, mint 46-ost; A hálózati feszültség sokkal gyakrabban van a 215-225 V tartományban, mint a 225-235 V tartományban.

A valószínűségi változó értékei és előfordulási valószínűségei közötti kapcsolatot a valószínűségi változó eloszlási törvénye. Azt mondják, hogy az SV-t egyik vagy másik terjesztési törvény szerint terjesztik (alapvetően). Az elosztási törvény meghatározásának többféle formája van:

· táblázat formájában (táblázatos);

· rajz formájában (grafikusan);

képlet (analitikailag).

Módszerek a valószínűségi változók eloszlási törvényeinek megadására

Az SW eloszlás törvényeinek meghatározására szolgáló összes módszer feltételesen felosztható elméleti és statisztikai módszerre. Elméleti törvények az eloszlások a természetben létező valódi törvényeket tükrözik. Megállapításukhoz a nagy számok törvénye szerint közel végtelen mennyiségű információ feldolgozása szükséges. A gyakorlatban az ilyen törvényeket korlátozott mennyiségű statisztikai adat alapján hozzák létre, és egyik vagy másik formálissá teszi őket statisztikai módokon. A statisztikákat gyakran ún kísérleti (empirikus)). Az eloszlási törvény (DLR) meghatározásának minden elméleti módszerének vannak statisztikai analógiái (STL). Tekintsük ezeket a módszereket.

TZR-1. SV elosztási sorozat

Az eloszlási sorozat egy táblázat, amelyben egyrészt egy valószínűségi változó értékei, másrészt azok valószínűségei vannak feltüntetve (2. táblázat). Az elosztási sorozatban az SV értékei rendezetten vannak elrendezve - ahogy nőnek.

Ezeknek az értékeknek a teljes valószínűsége, amely eggyel egyenlő, fel van osztva az SV összes lehetséges értéke között. Ezért az eloszlássorozat összes valószínűségének összege eggyel egyenlő: = 1

2. táblázat: SV eloszlási sorozat

A diszkrét valószínűségi változók megadásának módszerei nem általánosak – nem alkalmazhatók például folytonos valószínűségi változókra. Valóban, hagyjuk, hogy az X valószínűségi változó lehetséges értékei teljesen kitöltsék az (a;b) intervallumot. Fel lehet sorolni az X összes lehetséges értékét? Nem. Szükségünk van egy általános módszerre bármilyen típusú valószínűségi változó megadására. Ebből a célból egy valószínűségi változó valószínűségi eloszlási függvényeit vezetjük be.


Eloszlásfüggvény Az eloszlásfüggvény az F(x) függvény, amely meghatározza annak valószínűségét, hogy az X valószínűségi változó a teszt eredményeként x-nél kisebb értéket vesz fel, azaz. F(x) = P(X


X 1. 3. 3. Annak a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó felveszi a kapott értéket" title="Az eloszlási függvény tulajdonságai 1. 1. Az eloszlásfüggvény értékei a szegmenshez tartoznak: 0 F (x) 1. 2. 2. F (x) egy nem csökkenő függvény, azaz F(x 2) F(x 1), ha x 2 > x 1. 3. 3. Annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó vesz egy értéket kötik" class="link_thumb"> 4 !} Az eloszlásfüggvény tulajdonságai Az eloszlásfüggvény értékei a szegmenshez tartoznak: 0 F(x) F(x) egy nem csökkenő függvény, azaz F(x 2) F(x 1), ha x 2 > x Annak a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó felveszi az (a;b) intervallumban lévő értéket, egyenlő az eloszlásfüggvény növekményével ezen az intervallumon: P (a x 1. 3. 3. Annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó olyan értéket vesz fel, amely "> x 1-ben található. 3. 3. Annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó az (a; b) intervallumban lévő értéket veszi fel az eloszlásfüggvény növekménye ezen az intervallumon: P (a"> x 1. 3. 3. Annak a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó felveszi a kapott értéket" title="Az 1. eloszlási függvény tulajdonságai. 1. Az eloszlásfüggvény értékei a következő intervallumhoz tartoznak: 0 F( x) 1. 2. 2. F(x) – nem csökkenő függvény, azaz F(x 2) F(x 1), ha x 2 > x 1. 3. 3. A valószínűségi változó érvénybe lépésének valószínűsége, következtetés"> title="Az eloszlásfüggvény tulajdonságai 1. 1. Az eloszlásfüggvény értékei a szegmenshez tartoznak: 0 F(x) 1. 2. 2. F(x) egy nem csökkenő függvény, azaz F(x 2) F(x 1), ha x 2 > x 1. 3. 3. Megállapítjuk annak valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó értéket vesz fel"> !}


Példa 1. Egy X valószínűségi változót egy 0 eloszlásfüggvény ad meg x -1 helyen F(x) = x/4+1/4 at Határozza meg annak valószínűségét, hogy a teszt eredményeként X az intervallumhoz tartozó értéket vesz fel. (0;2): P(0







4. 4. Annak a valószínűsége, hogy egy X folytonos valószínűségi változó egy adott értéket vesz fel, 0. Így érdemes figyelembe venni annak valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó egy intervallumba esik, még ha kicsi is. Például az érdekli őket, hogy az alkatrészek méretei nem lépik túl a megengedett határokat, de nem vetik fel a tervezési mérettel való egyezés valószínűségét.


De téves azt gondolni, hogy a P(X=x 1) valószínűség egyenlősége 0-val azt jelenti, hogy az X=x 1 esemény lehetetlen (ha nem korlátozzuk a valószínűség klasszikus definícióját). A teszt eredményeként a valószínűségi változó szükségszerűen a lehetséges értékek egyikét veszi fel; különösen ez az érték lehet egyenlő x 1-gyel.


5. 5. Ha egy valószínűségi változó lehetséges értékei az (a;b) intervallumhoz tartoznak, akkor 1) F(x) = 0 x a esetén; 2) F(x) = 1 x b-nél. ] Ha egy folytonos valószínűségi változó lehetséges értékei a teljes x tengelyen találhatók, akkor a következő határviszonyok érvényesek: Lim F(x) = 0; Lim F(x) = 1. x- x+






Folytonos valószínűségi változó valószínűségi sűrűség-eloszlása ​​A folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvény segítségével történő megadásának módja nem az egyetlen. Egy folytonos valószínűségi változó egy másik függvény segítségével is megadható, amelyet eloszlássűrűségnek vagy valószínűségi sűrűségnek neveznek (néha differenciálfüggvénynek is nevezik).


Egy folytonos X valószínűségi változó valószínűségi eloszlási sűrűségét f(x) függvénynek nevezzük – az F(x) eloszlásfüggvény első deriváltja: f(x) = F"(x). Ezért az eloszlásfüggvény antiderivált. az eloszlási sűrűségtől.


π/2. Határozzuk meg az f(x) eloszlássűrűséget! 0 x π/2-nél." title="Példa. Adott egy X 0 folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye x 0-nál F(x) = sinx 0 π/2-nél. Keresse meg az f(x) eloszlássűrűséget 0 x π/2-nél." class="link_thumb"> 18 !} Példa. Adott egy X 0 folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye x 0-nál F(x) = sinx 0 π/2-nél. Határozzuk meg az f(x) eloszlássűrűséget! 0 x π/2-nél. π/2. Határozzuk meg az f(x) eloszlássűrűséget! 0 x π/2."> π/2. Határozza meg az f(x) eloszlási sűrűséget. 0 x π/2."> π/2. Határozzuk meg az f(x) eloszlássűrűséget! 0 x π/2-nél." title="Példa. Adott egy X 0 folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye x 0-nál F(x) = sinx 0 π/2-nél. Keresse meg az f(x) eloszlássűrűséget 0 x π/2-nél."> (x) = cosx при 0 π/2." title="Példa. Adott egy X 0 folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye x 0-nál F(x) = sinx 0 π/2-nél. Határozzuk meg az f(x) eloszlássűrűséget! 0 x π/2-nél."> !}






Az eloszlássűrűség tulajdonságai Az eloszlássűrűség nemnegatív függvény: f(x) 0. Az eloszlássűrűség gráfot eloszlási görbének nevezzük. Az eloszlássűrűség nem megfelelő integrálja a - és tartományban egyenlő 1 )dx = 1. -


Az eloszlássűrűség valószínűségi jelentése Az f(x) függvény minden x pontra meghatározza a valószínűségi eloszlás sűrűségét. Kellően kicsi x-hez. F(x + x) - F(x) f(x)x. Mert az F(x + x) - F(x) különbség meghatározza (lásd fent) annak a valószínűségét, hogy X az (x; x + x) intervallumhoz tartozó értéket vesz fel, akkor ez a valószínűség megközelítőleg egyenlő az valószínűségi sűrűség t-ben az x intervallum hosszával.

Mint ismeretes, valószínűségi változó változó mennyiségnek nevezzük, amely az esettől függően bizonyos értékeket vehet fel. A véletlenszerű változókat a latin ábécé nagybetűivel (X, Y, Z), értékeiket pedig a megfelelő kisbetűkkel (x, y, z) jelöljük. A véletlen változókat nem folytonosra (diszkrét) és folytonosra osztják.

Diszkrét valószínűségi változó egy valószínűségi változó, amely csak egy véges vagy végtelen (megszámlálható) értékhalmazt vesz fel bizonyos nem nulla valószínűséggel.

Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvénye egy olyan függvény, amely összekapcsolja egy valószínűségi változó értékeit a megfelelő valószínűségekkel. Az elosztási törvényt az alábbi módok egyikén lehet megadni.

1 . Az elosztási törvényt a táblázat segítségével adhatjuk meg:

ahol λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) használva F(x) eloszlásfüggvény , amely minden x értékre meghatározza annak valószínűségét, hogy az X valószínűségi változó x-nél kisebb értéket vesz fel, azaz. F(x) = P(X< x).

Az F(x) függvény tulajdonságai

3 . Az elosztási törvény grafikusan megadható – eloszlási sokszög (poligon) (lásd 3. feladat).

Vegye figyelembe, hogy bizonyos problémák megoldásához nem szükséges ismerni az elosztási törvényt. Bizonyos esetekben elegendő egy vagy több olyan szám ismerete, amelyek az elosztási törvény legfontosabb jellemzőit tükrözik. Ez lehet egy szám, amely egy valószínűségi változó „átlagértékét” jelenti, vagy olyan szám, amely egy valószínűségi változó átlagos értékétől való eltérésének átlagos nagyságát mutatja. Az ilyen számokat egy valószínűségi változó numerikus jellemzőinek nevezzük.

Egy diszkrét valószínűségi változó alapvető numerikus jellemzői :

  • Matematikai elvárás diszkrét valószínűségi változó (átlagértéke). M(X)=Σ x i p i.
    Binomiális eloszlásnál M(X)=np, Poisson eloszlásnál M(X)=λ
  • Diszperzió diszkrét valószínűségi változó D(X)=M2 vagy D(X) = M(X 2)− 2. Az X–M(X) különbséget egy valószínűségi változó matematikai elvárásától való eltérésének nevezzük.
    Binomiális eloszlás esetén D(X)=npq, Poisson eloszlás esetén D(X)=λ
  • Szórás (szórás) σ(X)=√D(X).

Példák problémák megoldására a „Diszkrét valószínűségi változó eloszlásának törvénye” témakörben

1. feladat.

1000 sorsjegyet bocsátottak ki: közülük 5 500 rubelt, 10 100 rubelt, 20 50 rubelt, 50 10 rubelt nyer. Határozza meg az X valószínűségi változó valószínűségi eloszlásának törvényét - nyeremény egy jegyre!

Megoldás. A probléma körülményei szerint az X valószínűségi változó következő értékei lehetségesek: 0, 10, 50, 100 és 500.

A nyeremény nélküli jegyek száma 1000 – (5+10+20+50) = 915, majd P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Hasonlóképpen megtaláljuk az összes többi valószínűséget is: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X) =500) = 5/1000=0,005. Mutassuk be a kapott törvényt táblázat formájában:

Határozzuk meg az X érték matematikai elvárását: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

3. feladat.

A készülék három egymástól függetlenül működő elemből áll. Az egyes elemek meghibásodásának valószínűsége egy kísérletben 0,1. Készítsen eloszlási törvényt egy kísérlet sikertelen elemeinek számára, alkosson eloszlási sokszöget. Keresse meg az F(x) eloszlásfüggvényt és ábrázolja. Határozza meg egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárását, szórását és szórását.

Megoldás. 1. Az X = diszkrét valószínűségi változó (a sikertelen elemek száma egy kísérletben) a következő lehetséges értékeket tartalmazza: x 1 = 0 (egyik eszközelem sem hibásodott meg), x 2 = 1 (egy elem meghibásodott), x 3 = 2 ( két elem nem sikerült ) és x 4 =3 (három elem nem sikerült).

Az elemek meghibásodása független egymástól, az egyes elemek meghibásodásának valószínűsége egyenlő, ezért alkalmazható Bernoulli képlet . Figyelembe véve, hogy a feltétel szerint n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, meghatározzuk az értékek valószínűségét:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Ellenőrzés: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Így az X kívánt binomiális eloszlási törvénye a következőképpen alakul:

Az abszcissza tengely mentén ábrázoljuk x i lehetséges értékeit, az ordináta tengely mentén pedig a megfelelő p i valószínűségeket. Szerkesszük meg az M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001) pontokat. Ezeket a pontokat egyenes szakaszokkal összekötve megkapjuk a kívánt eloszlási sokszöget.

3. Keressük az F(x) = Р(Х) eloszlásfüggvényt

Ha x ≤ 0, akkor F(x) = Р(Х<0) = 0;
0-ért< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1-ért< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2-ért< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3 esetén F(x) = 1 lesz, mert az esemény megbízható.

F(x) függvény grafikonja

4. X binomiális eloszlás esetén:
- matematikai elvárás M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- szórás D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- szórás σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

„Valószínűségszámítás az iskolában” – Összetett események. Számos teszt. Az elemi események terének tetszőleges részhalmaza. Valószínűség. Egy bizonyos feltételrendszer megvalósítása. Független események. Valószínűségszorzó tétel. Termékszabály. Egy esemény legvalószínűbb előfordulásának száma. Tétel az inkompatibilis események valószínűségeinek összeadására.

„Véletlen esemény valószínűsége” - Elemi események. Egy szimmetrikus érmét kétszer dobnak fel. Egy kocka dobása. Egy véletlenszerű kísérlet elemi eseményei. Valószínűségek összege. Kedvező elemi események. Vadász. Labdarúgó mérkőzés. Elemi események táblázata. Egy tisztességes érme feldobásakor. Ugyanilyen lehetséges elemi események.

„Valószínűségek összeadása és szorzása” - Tételek a valószínűségek szorzásához és összeadásához. Legalább egy esemény bekövetkezésének valószínűsége. Különleges eset. Független események. Szorzási tétel. Teljes valószínűségi képlet. Valószínűségi összeadás tétel. A cél eltalálásának valószínűsége. Valószínűségszorzó tétel. Minden esemény. Feltételes valószínűség.

„Valószínűségszámítás a vizsgához” – Annak a valószínűsége, hogy a dobott pontok összege 6. Dob. Kedvező esemény A. Termékszabály (szorzási szabály). A táskában 2 fekete és 3 fehér golyó található. A permutációk, elhelyezések, kombinációk megkülönböztetése. Egy esemény valószínűsége. Oktatási és módszertani kézikönyvek. A közepére írt szám.

„Esemény bekövetkezésének valószínűsége” – Természetes szám. Egy esemény valószínűségének meghatározása. Kísérlet. Valószínűségbecslés lehetősége. Kombinációk. Valószínűség. Hely. Az ellenkező esemény valószínűsége. Egy esemény valószínűsége. Az esetek száma. A kombinatorika elemei. Elemek száma. A valószínűségszámítás elemei. Az események valószínűségének statisztikai meghatározása.

"Véletlen változó" - Bernoulli képlete. Keskeny téglalap. Az eloszlásfüggvény megalkotásához kiszámoljuk annak több értékét. Az eloszlásfüggvény egy nem csökkenő függvény. Az SV eloszlásának törvénye tetszőleges arány. Feladat. Véletlen változó (SV). Az SV értékek különböző intervallumai. A függvény mintegy jellemzi azt a sűrűséget, amellyel az SW eloszlik.

A témában összesen 23 előadás hangzik el

Kockázati helyzetben ismerjük egyik vagy másik alternatíva kimenetelét és azt, hogy ezek az eredmények milyen valószínűséggel fordulhatnak elő. Vagyis ismerjük a kimenetelek valószínűségi eloszlását, így ábrázolhatók (modellezhetők) formában valószínűségi változó. Ebben a részben felidézzük a valószínűségszámításból származó információkat a valószínűségi változókról és azok meghatározásának módszereiről, amelyek szükségesek lesznek a könyv anyagának további tanulmányozásához.

A klasszikus definíció szerint a véletlen mennyiség olyan mennyiség, amelynek értéke kísérletenként véletlenszerűen változhat. Vagyis minden „tesztben” egyetlen értéket vehet fel egy bizonyos halmazból. Azt azonban lehetetlen megjósolni, hogy pontosan mekkora értéket vesz fel.

A véletlen változókat diszkrétre és folytonosra osztjuk. Egy diszkrét SV csak véges vagy megszámlálható értékkészletet vehet fel. A folytonos SV bármilyen értéket felvehet valamilyen zárt vagy nyitott intervallumból, beleértve a végtelent is.

3.2.2. Valószínűségi változó eloszlási törvénye

A valószínűségi változót az eloszlási törvénye határozza meg. Az elosztás törvénye meghatározottnak minősül, ha:

  • egy valószínűségi változó lehetséges értékeinek halmaza (beleértve a végtelent is) és
  • annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó ennek a halmaznak egy tetszőleges tartományába esik, vagy egy törvény (képlet), amely lehetővé teszi egy ilyen valószínűség kiszámítását.

A valószínűség lényegében egy olyan mutató, amely egy valószínűségi változó megjelenési lehetőségét jellemzi egy adott területen.

A legáltalánosabb és legelterjedtebb módja egy valószínűségi változó különböző értékeinek valószínűségének meghatározásának a valószínűségi eloszlási függvények, melynek rövidítése: elosztási függvény.

Az X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye az F(x) függvény, amely megadja annak valószínűségét, hogy az SV egy adott x értéknél kisebb értéket vesz fel, azaz:

F(x) = P(X< x)

X ("x big") - egy valószínűségi változót jelöl,

x („x kicsi”) egy adott érték egy valószínűségi változó lehetséges értékeinek halmazából.

Az eloszlási függvény nem csökkenő. Mivel x a mínusz végtelenhez tart, úgy nullához, és ahogy x a plusz végtelenhez, úgy az egyeshez.

Egy valószínűségi változó eloszlási törvényének ábrázolási formája különböző lehet, és attól függ, hogy diszkrét vagy folytonos valószínűségi változóról van-e szó.

Az eloszlásfüggvény definíciójából a következő függőségek következnek:

annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó értéket vesz fel az a-tól b-ig terjedő intervallumban:

P(a ≤ X< b) = F(b) - F(a)

annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó értéke nem kisebb, mint a:

3.2.3. Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlásának ábrázolásának módjai

Diszkrét valószínűségi változó eloszlásfüggvényével vagy eloszlási sorozatával (táblázatával) teljesen megadható. Megjeleníthetők táblázatos, elemző vagy grafikus formában.

Tegyük fel, hogy egy X valószínűségi változó három lehetséges értéket vehet fel: 25, 45 és 50 25%, 35% és 40% valószínűséggel. Ennek az SV-nek a terjesztési sorozata így fog kinézni:

Ugyanazon valószínűségi változó eloszlásfüggvénye, amely azt mutatja, hogy egy adott értéket nem lép túl, a következőképpen írható fel:

A 3.1. ábra grafikus módszereket mutat be ennek a diszkrét X valószínűségi változónak az eloszlási törvényének meghatározására.

3.1. ábra.

A p j valószínűségi eloszlás sorozat grafikonján az egyes lehetséges x j értékek realizációit olyan oszlopok ábrázolják, amelyek magassága megegyezik a valószínűséggel. Az összes M oszlop magasságának összege (az összes valószínűség) egyenlő eggyel, mivel lefedik x minden lehetséges értékét:

Néha a sávok helyett szaggatott vonal húzódik, amely összeköti az SV értékeinek megvalósításának valószínűségét.

Annak a valószínűsége, hogy egy diszkrét valószínűségi változó kisebb értéket vesz fel, mint a, egyenlő az a-nál kisebb kimenetek valószínűségeinek összegével:

Definíció szerint ez egyenlő az eloszlásfüggvény értékével az x = a pontban. Ha az eloszlásfüggvény értékeit a koordinátasíkon ábrázoljuk, amikor x „átfut” az összes értéken mínusz végtelentől plusz végtelenig, akkor az eloszlási függvény grafikonját kapjuk. A diszkrét SV esetén lépcsőzetes. A mínusz végtelentől az első lehetséges x 1 értékig tartó intervallumban ez egyenlő nullával, mivel ezen az intervallumon nem lehet semmilyen értéket elfogadni.

Ezután minden lehetséges x j érték megnöveli az eloszlásfüggvényt a p j érték előfordulási valószínűségével megegyező mértékben. Két egymást követő x j és x j+1 érték között az eloszlásfüggvény nem változik, mivel ott nincs más lehetséges x értéke, és nem történik ugrás. Végül az x M utolsó lehetséges értékének pontján a p M valószínűségi értékkel ugrás következik be, és az eloszlásfüggvény eggyel egyenlő határértéket ér el. Ezután a grafikon ezen a szinten halad az x tengellyel párhuzamosan. Soha nem emelkedik magasabbra, mivel a valószínűség nem lehet nagyobb egynél.

3.2.4. Folyamatos valószínűségi változó eloszlásának ábrázolásának módjai

Folyamatos valószínűségi változó eloszlási függvénye is megadja, általában analitikus formában. Ezenkívül teljesen leírható az f(x) valószínűségi sűrűségfüggvénnyel, amely az F(x) eloszlásfüggvény első deriváltja:

Valószínűségi sűrűségfüggvény nem negatív, és a végtelen határok feletti integrálja egyenlő az egységgel.

Vegyünk példának egy folytonos valószínűségi változót, amely normális törvény szerint eloszlik.

A valószínűségi sűrűségfüggvényét analitikusan a következő képlet adja meg:

Itt m X és σ X eloszlási paraméterek. m X az eloszlási központ helyét jellemzi, σ X pedig ehhez a „középponthoz” viszonyított diszperziót.